Definition of the trace of a Matrix

熟知方阵的迹(Trace)有如下三条性质:

1. \(\operatorname{Tr}(A+B)=\operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(B)\);
2. \(\operatorname{Tr}(kA)=k\operatorname{Tr}(A)\);
3. \(\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)\).

前两条性质说明, \(\operatorname{Tr}(A)\) 是线性空间 \(M_n(K)\) 内的一个线性函数. 第三条性质比较独特. 事实上, 对于线性空间 \(M_n(K)\) 内的线性函数, 第三条性质为”迹” 所独有! 换句话说, 我们可以用下面的方式来定义方阵的迹:

设 \(f\) 是数域 \(K\) 上的线性空间 \(M_n(K)\) 内的一个线性函数, 如果满足如下条件:

\[f(AB)=f(BA),      \forall A, B\in M_n(K)\]

那么, \(f(A)=\dfrac{f(I)}n\cdot \operatorname{Tr}(A)\), 这里 \(I\) 是 \(n\) 阶单位方阵.

姑且把这个论断称为“方阵的迹界定定理”. 如果在这个”定理” 的前提假设增加一条, 即如果 \(f\) 还满足

\[f(I)=n,\]

那么, \(f(A)\) 就是 \(\operatorname{Tr}(A)\).