The derivative \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) is not a ratio.
Leibniz 引进了符号 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), 人们认为它是商: \(x\) 的改变导致的 \(y\) 的无穷小改变与 \(x\) 的无穷小改变的商.
但实际上, \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 仅仅是一个符号, 用来表示导数, 其定义是一个极限. 我们不能把 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) 解释为”比”.
诚然, Leibniz 的符号非常有启发性, 也很有用. 比如, 反函数定理是这么说的:
\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac1{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}.\]
这非常自然, 如若把导数理解为分数. 再如, 复合函数求导的链式法则(the Chain Rule):
\[\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}.\]
这”显而易见”, 如果观众认为导数是分数. 这些事实显示: 导数, 其行为在许多方面来说, 又仿佛是商. 就是因为这符号如此美好, 所以才能在被保留, 并得到了广泛的使用. 但是, 我们必须记住: 导数实际不是商, 仅仅是一个极限. 隐函数定理告诉大家,
\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}.\]
嗯, 这很有说服力! 我们书写 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), 似乎是分数, 其行为也很像分数, 但确确实实不是分数.
首先, 实数有一个重要的性质, 所谓的 Archimedean Property: 对任意实数 \(\epsilon\gt0\), \(M\gt0\), 总存在正整数 \(n\), 使得 \(n\epsilon\gt M\). 但是, 对于”无穷小”, 不存在这样的特点.
其次, 对于曲线的切线,