作者：秋水无涯
Prologue:
要善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方。 ——华罗庚
“转换原理”可以粗略地叙述如下：如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立，则对“在 \(\mathbb{C} \) 上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。
我们用具体的例子来说明。首先是经典的Liouville定理：
任何一个在 \(\mathbb{C}\)上有界的全纯函数f必为常值函数。
“转换原理”将其加强为著名的Picard小定理：
任何一个在 \(\mathbb{C} \)上有2个空隙值的全纯函数F必为常值函数。
下面来证明Picard小定理，借以说明“转换原理”的运作机制：
首先注意到，我们可以把Liouville定理中的有界性要求替换为 \(Im(f) \subset \triangle\).
假设全纯函数 \(F \) 在 \(\mathbb{C}\) 上有2个空隙值。考虑复合函数\(\mu=\lambda ^{-1} \circ F\)。任取 \(z_0 \in \mathbb{C}，F(z_0)=w_0\)。在 \(w_0\) 的邻域中\(\lambda^{-1}\)可取到某一单值分支。由于\(\lambda\)是覆叠映射， 定义在单连通区域 \(\mathbb{C}\)上的 \(\mu\)可延拓成一个单值函数，并满足 \(Im(\mu) \subset \triangle\)。由Liouville定理，\(\mu\) 为常值函数，从而\(F\)为常值函数。
此证明最早由Picard给出。
C.E.Picard (1856-1941）
和Picard小定理相比，Picard大定理更加微妙。我们需要更多的准备。
首先陈述经典的Weierstrass定理：
解析函数在本性奇点的每一邻域中都任意地逼近于任意复数值。
为应用“转换原理”，我们将其重新叙述为（较弱的）：
命题1：若解析函数f在孤立奇点的某一邻域内“有界”，则此奇点不是本性奇点（从而是可去奇点或极点）。
此处的“有界”指的是：视\(\mathbb{\bar{C}}\) 为球面，则此邻域的象包含在球面上的某大圆中。对于可去奇点，其邻域的象点“聚拢”到复平面上的某一常点；对于极点则“聚拢”到无穷远点。在这两种情况下，我们都得到广义的“有界性”。而对于本性奇点，任一邻域的象都“分散”在整个球面上。
通过一个Möbius变换，我们可以进一步将“广义有界”的要求替换为：存在某邻域的象落在 \(\triangle\) 中。
同时我们也对“转换原理”稍作推广：对\(\mathbb{\bar{C}}\) 上的广义“有界”函数成立的命题对“在 \(\mathbb{\bar{C}}\)上有3个空隙值”的函数亦成立。
不妨假定奇点为0。推广后的“转换原理”将命题1转换为Picard大定理：若解析函数\(F: \mathbb{\bar{C}}\backslash\{0\} \to \mathbb{\bar{C}}\)在奇点的某一邻域内有3个空隙值（计入\(\infty\))，则0不是本性奇点。
换言之，解析函数在本性奇点的任一邻域中至多有2个空隙值（计入\(\infty\))。
证明：选取以0为圆心且半径充分小的穿孔圆盘\(\Omega\backslash\{0\}\) 使其满足假设。将F 限制到 \(\Omega\backslash\{0\}\)上。同样的，考虑复合函数\(\mu=\lambda ^{-1} \circ F\)。此处的困难是\(\Omega\backslash\{0\}\)并非单连通域，故证明Picard小定理时所用的解析延拓未必给出单值函数。这要求我们推广命题1为：
命题2：若多值解析函数f（更准确地说，给定的初始函数芽在穿孔圆盘上延拓而成的全局解析函数）在孤立奇点的某一邻域内“有界”，则此奇点是代数奇点（支点）。
一个简单的证明手法是利用单值化定理对f进行单值化，从而化归为命题1。
总而言之，就其本质而言，Picard大定理是一个应当在Riemann面上陈述的定理。
最后我们希望对“转换原理”做一个一般的讨论。复分析中隶属于值分布论的结果一般都是比较深刻的。“转换原理”允许我们“足够地退”，退到论证“有界性”。讨论后者时，常有更多分析的手段可以采用。例如Liouville定理和Weierstrass定理都可以通过初等估计来证明。在第3章中我们要将函数的有界性和函数空间的“紧致性”联系起来。