Aug 182012
质数 \(p=4n+1\), 那么存在 \( a,b\in\Bbb Z,\) 并且
\begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\end{equation}
使得 \( p=a^2+b^2.\)
这是 Gauss 在 \(1825\) 年的一个结果, 已经指出了适合 Fermat 平方和定理的唯一一对 \(a,b\): 由
\begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\quad a<\frac{|p|}2\end{equation}
可决定唯一的一个 \(a,\) 然后
\begin{equation}b\equiv a(2n)!\pmod p,\quad b<\frac{|p|}2\end{equation}
定出的唯一的 \(b,\) 此 \(a,b\) 使得 \( p=a^2+b^2.\)
据说他本人给出的证明有 \(28\) 页之多. 我争取在这里给出一个简单的证明.