这里将在有理数域 \(\Bbb Q\) 中来考察 Fermat 的平方和, 慢慢走向椭圆曲线(elliptic curve).
首先指出, \(n\in\Bbb N\) 是否两个有理数的平方和, 与其是否两个整数的平方和, 是一码事.
定理 设 \(n\in\Bbb N\), 则下面两件事情等价:
- 存在 \(x,y\in\Bbb Q,\) 使得 \(n=x^2+y^2\);
- 存在 \(x,y\in\Bbb N,\) 使得 \(n=x^2+y^2\).
只要说明 \(1\Rightarrow2\) 即可. 事实上, 这可归结到, 若有 \(q,n,a,b\in\Bbb N\) 使得
\[q^2n=a^2+b^2,\]
则 \(n\) 可表成两个整数的平方和. 可以认为 \((a,b)=1,\) 并且 \(n\) 不是完全平方. 记 \(l\in\Bbb N^+\) 使得
\[l^2<n<(l+1)^2.\]
于 \(au+bv\) 中, 令 \(u,v\) 分别取 \(0,1,2,\dotsc,l\), 共 \(l+1\) 个值, 则得 \((l+1)^2>n\) 个差数, 故其必有两个数于\(\mod n\) 同余. 设
\[au+bv\equiv au^\prime+bv^\prime\pmod n,\]
即
\[n\bigm|(ax+by),\]
这里 \(x=u-u^\prime,y=v-v^\prime\), 满足 \( |x|,|y|\leqslant l\). 于是, 更有
\[n\bigm|(ax+by)(ax-by)=a^2x^2-b^2y^2.\]
此外, 显然
\[n\bigm|(a^2+b^2)y^2=a^2y^2+b^2y^2,\]
故而
\[n\bigm|((a^2x^2-b^2y^2)+(a^2y^2+b^2y^2))=a^2(x^2+y^2).\]
因为 \((a,n)=1\), 所以 \(n\bigm|(x^2+y^2)\). 注意到 \(0<x^2+y^2<2n,\) 就得出了 \(n=x^2+y^2.\)
从二平方和定理来看, 本定理是显然的, 但我们没有这样做, 完全避开了它.
现在, Hilbert符号(Hilbert symbol)可以登堂了.