Day \(1\)

Problem 1. 解答 1   采用母函数.

记 \(q(n)\) 代表把 \(n\) 分为一些大于 \(1\) 的整数和之分拆数\((q(0)=1),\) 考察

\[F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n,\quad G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}q(n)x^n.\]

显然 \(q(n)\leqslant p(n)<2^n,\) 于是, \(|x|<\frac12\) 时, 两级数收敛.

注意到

\[F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n=\prod_{i=1}^{\infty}(1+x^i+x^{2i}+\dotsb)=\prod_{i=1}^{\infty}\frac1{1-x^i}\]

以及

\[G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}q(n)x^n=\prod_{i=2}^{\infty}(1+x^i+x^{2i}+\dotsb)=\prod_{i=2}^{\infty}\frac1{1-x^i},\]

于是 \(G(x)=(1-x)F(x).\) 比较两端 \(x^n\) 的系数, 即得 \(q(n)=p(n)-p(n-1).\)