非欧几何是一个时代的结束？还是开始？

作者: 4分33 秒

数学史家Judith Grabiner说过：
If you ask a mathematician “why?” the mathematician will give you a proof.
But when you ask a historian “why?” the historian will tell you a story.

几何学是数学中最古老的一门分科。如果从欧几里得的《几何原本》算起，至今已有两千三百多年的历史，而且该学科长盛不衰，其内涵一直在不断地延展之中，以至于现在人们很难确切地回答「甚么是几何学？」这个问题。

相传几何学起源于古埃及尼罗河氾滥后为整修土地而产生的测量学。它的英文名称“geometry”是由“geo”和“metry”组成的，其意义就是“土地测量”。在1607年利马窦和徐光启把欧几里得的《Elements》译成中文，取“geo”的音为「几何」，而「几何」二字中文原意又有「衡量大小」的意思，音义兼顾，确是神来之笔。

长期以来，数学家们发现欧几里得的第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。而且欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到它。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于「平行线理论」的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？

命题29：一条直线与两条平行线相交，则所成内错角相等，同位角相等，且同傍内角的和等于二直角。（欧几里得没有平角的定义，所以他一律使用两个直角的和）

设准 vs. 公理

设准、公理、共有概念这些词有甚么不同？当然现今这些概念是都混在一起用了。

Postulate = Special Notion vs. Common Notion = Axiom

爱因斯坦在《论动体的电动力学》中写道：
We will raise this conjecture (the purport of which will hereafter be called the “Principle of Relativity”) to the status of a postulate, and also introduce another postulate, which is only apparently irreconcilable with the former, namely, that light is always propagated in empty space with a definite velocity:c which is independent of the state of motion of the emitting body. These two postulates suffice for the attainment of a simple and consistent theory of the electrodynamics of moving bodies based on Maxwell’s theory for stationary bodies. The introduction of a “luminiferous aether” will prove to be superfluous inasmuch as the view here to be developed will not require an “absolutely stationary space” provided with special properties, nor assign a velocity-vector to a point of the empty space in which electromagnetic processes take place.

数学史家：设准 vs. 共有概念

为何爱因斯坦使用postulate而非axiom？
在建立叙述句理论(theory of statements)时，亚里斯多德如何区别「设准」及「共有概念」？
所有演绎科学(deductive science)都接受的根本真理，称之为共有概念(common notion)，例如：「等量相加，其和相等」，后来泛称为公理(axiom)。
特定科学(例如几何学)中的根本真理，称之为特殊概念(special notion)，后来改称为「设准」(假设成为准则)，此翻译十分精确！

数学真理的相关议题

何谓真理(truth)？
真理的「朴素」定义：去括号法则！
“Snow is white” is true if snow is white.
要件：一个叙述句或命题必须在实在(或现实世界reality)有所指涉，也就是其中所涉概念必须要有参考物(referent)。
现在回到数学！所谓的数学真理或是几何真理意义何在？

爱因斯坦的反思！

Morris Kline在《数学：确定性的失落》中写道：「倘若数学命题是对现实(reality)的描述，它们就不是确定的(certain)；倘若它们是确定的，那它们就不是描述现实。……然而另一方面，可以确定的是，不论就数学整体或是单就几何而言，它们的存在都是我们想要得知实际物体的性质。
数学知识的本质(nature)究竟为何？数学(例如几何学)的「确定性」基于有效的逻辑推论，也基于「设准为真」？

康德有关空间的思辨

康德主张：欧氏几何学是一种综合先验(synthetic a priori)的知识系统，它是有关空间世界的唯一真实几何学(true geometry)。既然如此，那当然不可能有非欧几何学了！
康德提问：为什么接受数学公设与定理都是真理？这当然无法单单藉由经验来确认，但是如果可以回答数学知识如何形成这个大问题，那么，前述问题就可以回答了。
康德回答：无人的心灵(mind)拥有时间和空间的形式。时间和空间是知觉的模态(mode)，康德称之为直觉(intuition)。我们依据这些心灵形式来感觉、组织和理解经验。它们就像模子塑造麵团成形一样地塑造经验。心灵将这些模态施加在接收的感官印象上，把这些感觉纳入内定的模式裡。

一旦空间的直觉源自心灵，心灵便自动接受了空间的某些性质，像是直线是两点之间的最短距离、三点决定一个平面，还有平行公设之类的原理，康德称之为综合先验真理，它们是人类心智能力的一部分。几何学不过是探索了这些原理的逻辑结果。心灵就其「空间结构」来检视经验，此一事实意谓了经验将会与基本原理和定理一致。
既然康德是从人类脑细胞製造出空间的概念，他看不出它如何不是欧氏空间。因为想像不出另一种几何，所以，他相信除了欧氏几何之外，不可能再有别的几何。

在《丈量世界》中有一段高斯拜访康德的桥段：「高斯说他有个想法，但找不到人谈。他似乎觉得欧几里得的空间并不像《纯粹理性批判》裡所认为，是人类的一种直观形式，我们所有的经验都必须服膺于它。欧氏空间其实是一种幻觉，是一场美梦。真相其实很可怕，「两条平行线永远不可能相交」的命题从来没有被证实过，欧几里得自己也没有证明过，没有任何人证明过。它绝不像我们认为的那样是不证自明的。」

非欧几何的历史

欧氏几何在19世纪之前，被认为是绝对真理，康德甚至在1781年出版的《纯粹理性批判》中，用一种绝妙论证，证成欧氏几何。
因天文学和航海绘製地图的需要而发展的球面几何学，源自于希腊时代，从现代观点可想成一种非欧几何，但古代没有人这样思考，他们理所当然地认为这从属于欧氏几何。
15世纪文艺复兴绘画开始发展的「透视」和「无穷远点」等射影几何概念，不被想成「非」欧氏几何，而是关联于欧氏几何发展的领域。

谈非欧几何的重点在于：
1. 绝对欧氏空间的扬弃，把实际空间还给物理学，把欧氏几何想成一种可能的几何（最简单的）。
2. 非欧几何必须相应处理原来欧氏几何的几何概念：长度、角度、面积、体积等。

欧氏平面与空间的代数化

坐标几何或解析几何发源自17世纪，主要推手是笛卡儿和费马，所以我们熟悉的直角坐标，也称为笛卡儿坐标。笛卡儿和费马的座标法将变数引进了数学，从而将运动引进了数学，因此为微积分的发明创造了必要的环境和条件。微积分要解决的首要问题是求曲线的切线斜率，以及曲线所围区域的面积，所以微积分在它产生的时刻就是和解决几何问题联繫在一起的。

藉由16世纪末Viète推动的代数符号，数学家开始引入代数工具解决几何问题，开启欧氏几何的全新格局，不但出现许多新几何形体，也採用新颖的分析方法，用代数演算取代逻辑推理，以解析几何（analytic geometry）取代综合几何（synthetic geometry）。「解析」在此无函数或微积分的意思，单纯只是「代数」而已。解析几何最初没有负数（只有第一象限），轴未必垂直，只处理平面，算式只有多项式，但是到欧拉的18世纪中期，已经是现代的模样。

高斯新几何观的背景

新几何的背景就是解析几何，研究的是欧氏平面或空间中的曲线或曲面，推动这些研究是科学的应用，因此经常出现困难课题先行，理论在后收拾的情况。
新几何最重要的工具是微积分与微分方程，因此也称为微分几何，在18世纪中探讨了很多困难的课题。
发展微分几何过程出现的「曲率」概念，后来在微分几何理论扮演关键角色，不但促成高斯和黎曼的新几何概念的发展，最后甚至在物理学—广义相对论和量子场论—中找到根本的应用。

曲面

曲面作为空间中的形体，从17世纪解析几何萌芽，到18世纪迅速发展，比曲线有更複杂的课题。促使曲面论发展的实际应用课题包括地图製作（developable surface）与测地线（geodesic, 测地问题），名家包括：欧拉, Monge, 高斯。
高斯用所谓「曲面即世界」的观点来理解曲面问题。实际上，高斯是在反省他的研究后，才产生这个想法，这是新几何观点的起点。曲面是平面的推广，曲面曲线是平面曲线的推广。

高斯绝妙定理

第一基本形式作为量度长度的「量尺」，决定了某二维的生物(例如蚂蚁)世界所有的几何量：长度、角度、面积。
若两曲面（局部）相对应的第一基本形式相同，则蚂蚁将（局部）无法分辨这两个「世界」。
第一基本形式决定的几何性质称为曲面的内禀（intrinsic）性质，是蚂蚁能察觉的几何性质。
令人意外的是，蚂蚁能够判断自己曲面的一部分曲率。这就是高斯绝妙定理：高斯曲率由第一基本形式决定，即高斯曲率是内禀的。

高斯曲率是内禀的几何量

除了长度、角度、面积，测地线（「直线」）和高斯曲率也都是内禀的（对我们最新奇的是「曲率也是几何量」）。相反的，平均曲率、主曲率、主方向、法曲率这些量，都属于曲面在背景空间中的外在弯曲，是蚂蚁无法感知的。
两曲面若相对应的高斯曲率不同，则对蚂蚁而言就是不同的「世界」。例如平面和球面是两个截然不同的世界，但平面和柱面却是（局部）上相同的。
一般来说，高斯曲率相等是两张曲面能够建立保长对应的必要条件，不是充分条件。

测量高斯曲率

Gauss-Bonnett定理之原版：三角形内角和

\[\theta_1  + \theta_2+ \theta_3=\iint_{\triangle} K\mathrm dA.\]

曲面上的三角形是以测地线为边的三角形。

高斯绝妙定理和Gauss-Bonnett定理两重要定理出自高斯1827年发表的《Disquisitions Generales circa Superficies Curvas》（《曲面论》），时年50岁。两年后，37岁的Lobachevsky发表非欧几何的论文，再三年，30岁的Bolyai完成非欧几何的论文。

高斯, Lobachevsky, Bolyai公案

高斯从未发表非欧几何的结果（高斯对于非欧几何的研究都只写在与友人的通信中，他不敢发表因为那时的人还是把非欧几何视为邪教），但他在检阅Bolyai（1832年）和Lobachevsky（1846年）的工作后，虽然都不吝称讚他们的想法很有天份，但也同时表示他对这些结果早就了然于胸，无法给予更多的讚誉。

高斯50岁以前的通信显示，他14岁开始思考非欧几何，22岁已经怀疑欧氏几何的真确性。在40岁给友人的信件裡，已经直言几何的经验性，说出：「我们几何信念的必然性无法证明」「几何不应与先验的算术并置，而该和力学归到同一类。」高斯不但发明「非欧几何」这个词，也明白表示欧氏几何是非欧几何的退化情况。

高斯虽然没有发表，但在早期信件中已经描述许多他证明的非欧几何关键定理。1831年，他表示曾多次重证这些性质，现在怕这些结果跟他一起腐朽，想要写下来。不过隔年他看到Bolyai的论文，或许就此打住。

总之，从他1827年的经典论文，就可以知道高斯在这个议题上的广度和深度早已超越Lobachevsky和Bolyai。黎曼才是真正继承高斯思想的人！

黎曼登场

高斯的新观点包括「曲面本身就是几何空间」（「曲面就是世界」）；第一基本式决定内禀几何；不同世界几何性质的差异源于内禀曲率。

黎曼为取得Privatdozent职位，在准备「教师资格演讲」（Habilitation lecture）时， 提出三个讲题（一个是关于电磁学和另一个关于複变函数），77岁高龄的高斯出乎意外挑了与几何有关的第三个讲题。1854年6月10日，黎曼以Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen（《论几何基础的假设》）为题演讲，由于内容高深，听众基本上只有高斯能够理解，但他给黎曼的演讲非常高的评价。一年后高斯便与世长辞。

讲稿本身哲学气味重（他当时是要申请哲学教职，底下听众大多是哲学系的教授，所以可能只有高斯能真的听懂），没有太多数学算式，可谓艰涩隐晦，通常要配合他另一篇著于1861年的论文阅读。

杨振宁曾写过一首诗讚美陈省身先生：「天衣岂无缝，匠心剪接成，浑然归一体，广燧妙绝伦：造化爱几何，四力纤维能，千古寸心事，欧高黎嘉陈。」高斯在几何学中起到了继往开来的作用，融合了自古希腊到17世纪的所有知识，并在他死后将衣钵传承给了黎曼。陈省身也对杨振宁说：物理学不过是几何学的子集。

黎曼在演讲一开头，就说明空间和空间公设之间的关係仍藏于黑暗：「我们既不能感知这样的关联是否或相当程度有其必要，也无法先验决定这是否可能。」空间的度量关係可能有很多系统，其中最知名的是欧氏几何，黎曼说这些系统「只具备经验确定性，但并非必然，全部都只是假说。」

黎曼重新检视研究几何的策略，放弃欧几里得等人传统全知的公设系统（尤其牵涉整体空间平行公设的正反），从局部且内部（蚂蚁的）观点，检视所知的几何关係，从第一基本形式的开始，採行分析学的道路，扩展高斯的想法，发展n维空间的概念（称为n维流形）。不但定于一尊的欧氏几何，变成存在各式各样的几何，而且完全不需要背景空间。

以经验决定几何空间会触及巨观和微观的限制。在巨观时，他特别区分无界（unboundedness）和无穷（infinite extent）的不同，强调我们基于经验经常混淆两者（康德在论及空间的二律背反时，便以此误解论证空间必须无穷）。黎曼隐含我们生存的空间可能是无界而非无穷。

鑑于经验观察将造成干扰，即使力学使用微积分而大成，但对人类观察不能及的微观世界，黎曼认为：「无穷小空间的度量关係绝非肤浅的问题。」微观几何的原理可能不同于前述的几何假设，他的演讲结尾竟然是：「这引领我们到另一个科学领域─物理学，今天演讲的目标不容我们再谈及。」

黎曼演说重新思考几何学的基本假设，触及很多面向，不但直接催生黎曼几何（空间+度量），也间接推动各种思维如流形论（空间本身）、具对称群作用之对称或齐性几何（如容许全等操作的常曲率流形）。将这篇讲稿译成英文的数学家Clifford，认为黎曼觉得空间必须结合物质才能真正解释物理空间（广义相对论），也有人将最后一段微观讨论连结到量子几何学。

模型和非欧几何

不知道是因为科学发展的时代氛围，高斯和黎曼对于几何学的创见更丰硕，理论本身的完善，或是欧氏几何在学习上最简单，曾经红极一时的非欧几何，在19世纪中开始失去吸引力，只留下一个重要的问题：「非欧几何真的一致吗？」其中是不是潜藏某个矛盾，以致于欧氏几何仍然是唯一的几何（老实说，欧氏几何也有一样的问题）。

这个问题，在19世纪下半叶，被Beltrami, Klein, Poincare「以子之矛，攻子之盾」很巧妙地解决了。他们在欧氏空间中提出一个能全然「体现」非欧几何公设的模型（model），因此如果非欧几何有矛盾，就会转化成欧氏几何的矛盾。

用模型来处理公设系统，后来发展成一个重要方法，用来解决许多牵涉公设系统的数学基础或数理逻辑问题。算是非欧几何对人类思想出乎意料的贡献。

谁发明了非欧几何学？

萨开里：如果非欧几何指的是一组包括非平行公设的公设系统所推导出来的结果，那麽，功劳最大的要属萨开里(Giovanni Girolamo Saccheri)。
克吕格和兰伯特：如果非欧几何的创立指的是认识到欧几里得几何之外另有其他的几何，那麽，功劳应该归于克吕格(Georg Kluger)和兰伯特(Johann H. Lambert)。
高斯：欧几里得几何并非物理空间所不可或缺的，没有任何先验的根据来确保它的物理真确性。这项领悟并不需要任何技术性的数学新发展，因为所有的技术性工作均已完成。第一个得到这项洞见的数学家是高斯！

康德的复仇

最后再回过头来谈谈康德在《纯粹理性批判》中证成欧氏几何的先验综合命题论。康德理论在认知科学时代捲土重来：人类的大脑模组是欧氏几何？
因为欧氏几何是最简单的几何系统，而且线性理论是数学家逼近问题的第一步。那麽我们不妨思考一下：「如果靠视觉观察世界的人类诞生在半径小的星球上（可以明显看到地表是圆的），那麽将会演化出什麽样的几何模组？」

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