本文作者 Zilin Jiang
对于一个三角形 \(T\), 一定可以找到一个椭圆 \( E\), 满足 \(E\subseteq T\subseteq 2E\). 对于一个平行四边形\(P\), 一定可以找到一个椭圆\( E^*\), 满足 \( E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*\).
由于在仿射变换下三角形, 平行四边形, 椭圆, 线段比例都保持, 所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了.
实际上, John定理断言, 每一个\( n\) 维凸体\( K\) 都有一个相应的椭球 \(E\) 满足, \(E\subseteq K\subseteq nE\). 对每一个中心对称凸体 \( C\), 都有一个相应的椭球 \( E^*\) 满足 \( E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*\).
为了证明John定理, 我们需要引入 John 椭球的概念, 为此需要证明 John-Loewner 椭球定理: 对于任意一个 \( n\) 维空间中的含有内点的紧子集, 存在唯一的椭球包含\(K\), 使得椭球体积达到最小, 此时, 称该椭球为 John 椭球.
证明(概要) 利用椭球与\( n\) 阶正定对称阵的联系, 考虑所有包含 \(K\) 的椭球的中心和其对应的正定对称阵构成空间\( C_K\), 证明\( \det\) 函数在\(C_K\) 上取到最大值, 存在性得证. 如果 \(\det\) 在 \( C_K\) 中有两个极大值点, 可以通过这两个极大值点构造 \( C_K\) 中的元素, 使得\(\det\) 在该元素上的取值更大(这里需要利用\(\ln \det\) 在 \( C_K\) 上的凹性), 由此导出矛盾, 唯一性得证.
作为应用, 我们考虑所有的\( GL_n(\Bbb R)\)的紧子群\(G\), 令
\[K=\cup_{g\in G} g(B^n),\]
其中\( B^n\) 是单位球, 此时\(K\) 含有内点. 于是\(K\) 是在任意\( G\) 中元素作用下稳定, 如果\( E\) 是 \(K\)的John椭球, 那么\( E\) 在任意 \( G\)中作用下也稳定（这是因为 \(G\)的紧致性保证了其任意元素\( g\) 的行列式为\(1\), 于是\( g(E)\) 明显包含 \(K\), 且体积与\( E\)相等, 由John椭球的唯一性知 \( E\) 的稳定性), 由此可知存在\(v\in GL_n(\Bbb R)\), 使得对任意\( g\in G\), 有 \( v^{-1}gv(B^n)=B^n\), 故\(v^{-1}Gv\subseteq SO_n(\Bbb{R})\), 也就是说在相差一个共轭的程度上, 正交群是极大的紧子群.