Peking university 2014 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1

1. 叙述实数序列 \(\{x_n\}\) 的 Cauchy 收敛原理, 并且使用 Bolzano-Weierstrass(波尔查诺-威尔斯特拉斯)定理证明.

2. 序列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_1=1\), \(x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}\), \(n=1\), \(2\),\(\dotsc\). 证明此序列收敛并求极限.

3. 计算 \(\iiint_{\Omega}\sqrt{x^2+y^2}\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\), 其中 \(\Omega\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 与 \(z=1\) 围成的有界区域.

4. 证明函数项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x^3e^{-nx^2}\) 在 \([0,+\infty)\) 一致收敛.

5. 讨论级数 \(\sum\limits_{n=3}^{+\infty}\ln \cos\dfrac\pi n\) 的敛散性.

6. 设函数 \(f\colon\Bbb R^n\to\Bbb R\) 在 \(\Bbb R^n\setminus\mathbf0\) 可微, 在 \(\mathbf0\) 点连续, 且 \(\lim\limits_{\mathbf p\to \mathbf0} \dfrac{\partial f(\mathbf{p})}{\partial x_i}=0\), \(i=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(n\). 证明 \(f\) 在 \(\mathbf0\) 处可微.

7.  设 \(f(x)\), \(g(x)\) 是 \([0,1]\) 上的连续函数, 且 \(\sup\limits_{x\in [0,1]}f(x)=\sup\limits_{x\in [0,1]}g(x)\). 证明存在 \(x_0\in[0,1]\), 使得 \(e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0)\).

8. 记 \(\Omega=\{\mathbf p\in\Bbb R^3| |\mathbf p|\leq1 \}\), 设 \(V\colon\Bbb R^3\to\Bbb R^3\), \(V=(V_1, V_2, V_3)\) 是 \(C^1\) 向量场, \(V\) 在 \(\Bbb R^3\setminus\Omega\) 恒为 \(0\), \(\dfrac{\partial V_1}{\partial x}+\dfrac{\partial V_2}{\partial y}+ \dfrac{\partial V_3}{\partial z}\)在 \(\Bbb R^3\) 恒为 \(0\).
(1) 若 \(f\colon\Bbb R^3\to\Bbb R\) 是 \(C^1\) 函数, 求 \(\iiint_{\Omega}\bigtriangledown f\cdot V\,\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\).
(2) 求 \(\iiint_{\Omega}V_1\, \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\).

9. 设 \(f\colon\Bbb R\to\Bbb R\) 是有界连续函数, 求 \(\lim\limits_{t\to0^+}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \frac{t}{t^2 + x^2}\,\mathrm dx\).

10. 设 \(f \colon [0,1] \to [0,1]\) 是 \(C^2\) 函数, \(f(0)=f(1)=0\), 且 \(f^{\prime\prime}(x)\lt0\), \(\forall x\in[0,1]\). 记曲线 \(\{(x,f(x))|x\in[0,1]\}\) 的弧长是 \(L\). 证明 \(L\lt3\).