Power, Simplicity and Beauty
7月7日，Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了: Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), …
The first non-trivial case of a conjecture of Erdős on arithmetic progressions Read More不存在无穷质数等差数列. 下面是几种证明: 设等差数列的首项为 \(a\), 公差为 \(d\). 证明 1 分两种情况: a=1. 此时 \(1+(d+2)d=(d+1)^2\) 是合数; \(a\geqslant2\). 此时 \(a+ad=a(d+1)\) 是合数. 证明 2 连续合数可以任意长, 这是熟知的. 不曾想, 一个副产品居然就是我们的目标. \((m+1)!+2,(m+1)!+3,\dotsc,(m+1)!+m+1\) 是 \(m\) 个连续合数. 证明 3 稍强一点的结果 …
The primes doesn’t contain infinite long arithmetic progressions Read More密率与无限算术级数 Szemerédi’s theorem 任意有正（上）密率的正整数的子集必定包含任意长的算术级数. Van der Waerden’s theorem 把正整数集合任意划分成两个子集, 必有一个子集包含任意长的算术级数. 这里先要说明的是, Szemerédi’s theorem中的子集未必包含无限长的算术级数, Van der Waerden’s theorem 也未必有一个子集包含无限长的算术级数. 看下面的例子: \[ \{1,2,3\}\bigcup \{n: 2^{2i} \leqslant n < 2^{2i+1}, i \in {\Bbb N}\}\] 问题：正整数集合的子集 …
Positive density doesn’t assure infinite arithmetic progression Read More