7月7日，Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了:
Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列，即 \(x+y=2z\) 的解, \(x\ne y\). 则
\[|A|\ll \frac{N}{(\log N)^{1+c}}\]
\(c\gt 0\) 是绝对常数.
Thomas F. Bloom, Olof Sisask 的这个结果改进了Roth 的一个关于整数不含三项等差数列的上界的定理。
如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列，那么 \(A\) 的阶可以有多大？
在此之前的记录是：\(A\) 的元素个数可达 \(O\Big(\frac{N}{(\log N)^{1-o(1)}}\Big)\). 这个结果可以找到三个不同的证明，这些证明在 \(o(1)\) 这一项有一点差异。这几个证明来自Sanders, Thomas F. Bloom, Olof Sisask, 还有 Schoen.
要指出的是：常数 \(c\) 是 principle effective，但是计算它需要艰巨的工作。
数学家们的期待，是 Behrend 提出的猜想，这个最佳的上界是
\[|A|\ll Ne^{-O((\log N)^c)}\]
接下来，说一下 Thomas F. Bloom的Olof Sisask 定理的第一个副产品：
Erdos 的著名猜想
Erdos 有一个著名的猜测是：如果 \(A\subset\Bbb N\), 且 \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\)，那么 \(A\) 包含任意长的等差数列。
由 Thomas F. Bloom, Olof Sisask 的定理，可以导出 Erdos 的这著名猜想的一个不平凡的特殊情况：
Corollary 2 如果 \(A\subset\Bbb N\), 且 \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\)，那么 \(A\) 含无穷多非平凡的三项等差数列。
Proof. 若不然，假定 \(A\subset\Bbb N\), 且 \(A\) 仅仅含有有限个非平凡的三项等差数列。于是，对于任意的 \(N\)
\[F(N)\colon=|A\cap\{1, . . . , N\}|\ll\frac{N}{(\log N)^{1+c}}+1,\]
这里的 \(c\) 是定理 1 的常数。进而
\[\sum_{n\in A\atop n\leq N}\frac1n=\frac{F(N)}{N}+\int_1^N\frac{F(t)}{t^2}\mathrm dt\ll \int_1^N\frac{1}{t(\log t)^{1+c}}\mathrm dt+1\ll1.\]
令 \(N\to\infty\), 得 \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n\) 收敛。
\(A\) 的阶的下界
最后，顺便提一下 \(A\) 的阶的下界， 1946年 Behrend的高维球面构造法给出了
\[|A|\geq Ne^{-c\sqrt{\log N } }\]