Compass and straightedge constructions

Geometric construction with the compass alone

July 22, 2012May 22, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

意大利几何学家 L. Mascherom 于 \(1797\) 年证明了, 凡是能用尺规作出的几何图形都可以仅仅使用圆规来完成. \(1833\) 年, Jakob Steiner 根据 Poncelet 的想法, 指出: 如果给定一个圆和它的中心, 那么, 能用尺规作出的几何图形都能单独用直尺来作出. 我一直很好奇, 这些结论究竟是如何证明的? Ross Honsberger 在他的书, “Ingenuity in Mathematics”, 的第 \(15\) 节提供了一个详尽的证明, 这一节的标题是: Mascheroni …

Find the midpoint of a segment with compass alone

July 8, 2012May 22, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

仅用圆规找中点线段 \(AB\) 已给, 仅仅用圆规找其中点. 本题也很有意思, 尺规作图. 不过, 这不算神奇, 即便生锈圆规出马, 也就是把圆的半径固定, 例如 \(1\), 也一样可以完成任务. 作法分别以 \(A,B\) 为圆心, \(AB\) 为半径画圆(绿色)交于 \(C\); 在圆 \(B\) 上取 \(D,E\) 两点, 使 \(CD=DE=AB\), 则 \(AE=2AB\); 以 \(E\) 为圆心, \(AE\) 为半径画圆(黄色)交圆 \(A\) 于 \(F,G\); 分別以 \(F,G\) 为圆心, \(AF\) 为半径画圆(红色), 交于 \(A,I\) 两点, 则 \(I\) 就是 \(AB\) 中点.

Find the center of a circle with compass alone

July 7, 2012August 10, 2014 - by zyymat - Leave a Comment

仅用圆规找圆心俺对尺规作图(Compass and straightedge constructions)一直有浓厚的兴趣. 这里有一个有趣的问题: 圆 \(\color{red}O\) 给定, 仅仅使用圆规找出圆心. 下面给出两种作图办法, 没有证明, 但不困难. 图来自网络, 但作图办法不是. 作法 \(1\) 在圆 \(O\) 上任取一点 \(A\),以 \(A\) 为圆心画圆, 交圆 \(O\) 于 \(B,C\) 兩点; 分別以 \(B,C\) 为心,\(AB\) 为半径画圆交于 \(D\) 点; …