About “complex analysis” by Ahlfors, Cartan and Kunihiko Kodaira

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May 302019
 

“苟日新，日日新，又日新”

作者: 秋水无涯

博尔赫斯曾经(大逆不道地)怀疑过所有经典文学作品的“永恒性”。在我看来，在数学中实践这种怀疑主义所要冒的风险要小得多。这是一门研究客观对象的学问（我无意卷入哲学上的争论，例如“理念”是否真实存在，数学家“发现”还是“发明”定理等等：实践者或多或少总能达成共识，而与旁观者争论是没意义的)，认识总在进步。如果说有人站在巨人的肩膀上以至于觉得巨人并不高大，他大可不必为此感到羞愧。何况据说小平先生还没有他的夫人高呢。

经典的复分析理论是由3位风格各异的大师奠定的：Cauchy的积分表示观点，Weierstrass的幂级数表示观点和Riemann的复几何观点。近代恰好也有3位大师写过复分析的入门书：Ahlfors、H.Cartan以及小平邦彦。诚然，一本近代教材不可能只局限于介绍某种观点，甚至3种经典观点本身也无法截然分开，然而我们还是不难发现某种对应：

Ahlfors《复分析》最精彩的部分在于提供了一个从拓扑角度看完全清晰而现代的Cauchy积分定理。他毫不掩饰自己的分析学家趣味，自得其乐地(当然同时也让读者受益无穷)讨论着函数的各种表示，函数空间内的收敛性，椭圆函数论以及超几何函数论。这些论题覆盖了经典函数论的绝大部分内容，又出之以现代观点，使得此书在数十年间一直保持着第一参考书的地位。这是3本书中我读得最早也最钟爱的一本，虽然我并不强求它是完美的：在不引入Riemann面的情况下引入层论是相当勉强的，除了让叙述稍显摩登之外没有什么意义。

Cartan的《解析函数论》则处于一种尴尬的境地。他试图把Weierstrass观点摆到图像的中心，但这里有一个天然的(？)的限制：从积分表示构造幂级数表示要比从幂级数表示构造积分表示自然得多。因而他不得不在两种观点间来回跳跃，远不如Ahlfors宏大而一致。当然他的牺牲也获得了某种回报：Weierstrass观点可以毫不费力地推广到多变元(Cauchy的大部分函数论定理也仍然正确；高维的困难之处本质上是几何的)。

小平讨论了Riemann面，讨论了调和函数和“臭名昭著”的Dirichlet原理，讨论了Abel积分，也讨论了Riemann-Roch定理——他的这本著作几乎可以用来为Riemann招魂。这个膜拜Riemann的教派大概是由Klein创始的，一传到Weyl，再传到小平。然而从Riemann到小平已将近一个世纪，这种“复古”的风气难免显得有些怪异：在讨论全纯/亚纯形式的时候，小平偏要说Abel微分并把它分为一二三类；椭圆算子的正则性以及Hodge理论原本是他的拿手好戏，他却宁愿踩着Weyl引理-Dirichlet原理这条窄道小心前行：多么讽刺啊，以Hodge理论名震天下的小平邦彦，在写书的时候竟然连Hodge的名字都不敢提！这种“爱护”对学生有何好处呢？如果小平自己都莫名其妙地不置一词，初学者又怎么知道引理8.1和定理8.1在高维妙用无穷呢？

当然，有人会说：这个特例已很有代表性(在证明了RR定理的情况下尤其如此)，何必用一般性去困扰学生呢？但我意不在此。我所惋惜的是这个例子明明可以把学生引导到当时的前沿领域，引向一些激动人心的进展，作为向导的小平却宁愿带着一帮人回头走向Riemann：这是何必、何苦？

我知道一些数学家有所谓“经典情结”。Weil就是典型的例子。总有人以他读Gauss全集“读”出了Weil猜想为例宣传挖掘经典的必要性，伍鸿熙先生甚至在介绍现代Riemann几何的书里鼓励年轻人去念Gauss、Riemann和Poincare。在我看来这是一种纯粹的误导：一方面，重新拾起那些被现代数学消化了的概念毫无必要；另一方面，在经典作品里找到遗珠并非不可能，但因此鼓励初学者去撞运气则是荒唐的，我也绝不相信伍先生自己的论文是这样写出来的。

曾有人问丘成桐先生学微分几何要读什么书。丘先生明确地表示Spivak并不合适：“他自己不是搞几何的专家。”说得明白一些，“历史趣味”对于研究至多是锦上添花，读丘成桐比读Gauss要有效得多：至于那些喜欢拿“谁更伟大”说事的人，他们自己往往什么都搞不出来。

从这个意义上来说，小平的复分析是一本好书：它好在内核是新的，用现代的观点处理了Riemann留下的一些古典论题(而并不是好在“小平先生是人人景仰的大师”这些不着边际的话)。但它又是一本太过保守的书，并不能把没有经验的读者带到更远处——很可能要等到他们念Griffiths-Harris的时候才能明白：“哦，原来这里是重要的。哦，原来小平先生处理问题的手法是受这些现代观点影响。哦，原来小平先生并不是踏雪无痕，而是过分小心地把自己思想的脚印一一擦掉了。”

Yitang Zhang at BICMR: Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

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Jul 112014
 

张益唐暑假在北京.

7 月他在母校北京大学的北京国际数学研究中心 (BICMR) 有一个系列的学术报告: Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function I, II, III. 这个报告分三场, 原定时间是 July 8, 10, 15,  2014 16:00-17:00, 地点是镜春园 78 号院的 77201 室.

BICMR 官网上这个报告的 Abstract 是这么写的:

The distribution of prime numbers is one of the most important subjects in number theory.

There are many interesting problems in this field. It may not be difficult to understand the problems themselves, but the solutions are extremely difficult.

In this series of talks we will describe the application of certain analytic tools to the distribution of prime numbers. In particular, the role played by the Riemann zeta function will be discussed. We will also describe some early and current researches on the Riemann Hypothesis.

These talks are open to everyone in the major of mathematics, including undergraduate students.

Yitang Zhang at BICMR Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

Yitang Zhang at BICMR :Distribution of Prime Numbers and the Riemann Zeta Function

8 日下午 4 点, 田刚现身. 因为人比较多, 改为在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅进行. 主持人刘若川是 1999 年的 IMO 金牌(他本来也是 1998 年中国国家队的队员).

报告从复分析开始, 解析开拓,  zeta 函数的定义, 留数定理, 伯努利数, 然后

\[\zeta(2k)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{2k}}=(-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}\]

的两个证明：一个是欧拉给的, 一个来自 Riemann.

张大师说: 欧拉的算功无双, 本来可以证明 \(\zeta(3)\) 是无理数的, 他错过了这个证明.

听报告的人, 会知道张大师非常强调复变函数的极端重要性! 复变不行的人, 没法玩解析数论.

10 日下午 4 点的第二场, 依旧在镜春园82号甲乙丙楼的中心报告厅. 不过, 15 日的一场会在镜春园 78 号院的 77201 室, 16:30 开始.

大量的使用复变, 满黑板的解析数论公式. 今天的主要任务是质数定理的证明, 以及黎曼假设在质数分布的作用.

15 日下午 4:30 的最后一场, 要深入一点. 田刚坐在教室最后一排, 刘若川, 许晨阳坐在教室左边的走廊.张大师谈到有 Goldston, Pintz and Yildirim 的工作, 说他自己最大的贡献是把 \(c\) 改进为 \(\dfrac14+\dfrac1{1168}\). 

Complex analysis 6: Harnack’s inequality

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Aug 152013
 

Harnack’s inequality 是关于调和函数的一个不等式, 被 A. Harnack 在 1887 年引进. 随后又被其他人重新发现, 比如 J. Serrin 和 J. Moser. 有不少重要的数学家对 Harnack’s inequality 做出各种推广. 通过Nash-Moser迭代, 人们发现在较为一般的散度型椭圆方程和抛物方程正解都具有这种性质. 从此, Harnack 不等式在偏微分方程解性质研究中发挥了巨大作用. 上世纪八十年代, P.Li 和丘成桐给出了Harnack不等式的另一种认识途径, 即所谓微分Harnack 估计. Li-Yau 对 Harnack不等式的新认识对 Ricci 流发展有重要影响. 经典椭圆型偏微分方程和抛物方程中的Harnack不等式在几何流中, 有很多应用. Perelman 证明 Poincaré conjecture, 就使用了 R. Hamilton 的一个 Harnack’s inequality 的推广形式. Harnack’s inequality 在偏微分方程有很多重要应用.

Harnack’s inequality  Let  \(D=\{z:|z|<1\}\). suppose \(f(z)\) is analytic on \(D\), \(\mathrm{Re}f(z)\geqslant0,\forall z\in D, f(0)>0\), then

  • \(|\mathrm{Im}f(z)|\leqslant f(0)\dfrac{2|z|}{1-{|z|^2}};\)
  • \(f(0)\dfrac{1-|z|}{1+|z|}\leqslant \mathrm{Re}f(z)\leqslant |f(z)| \leqslant f(0)\dfrac{1+|z|}{1-|z|},\)

and that equality holds if and only if  \(f(z)=w_0\dfrac{1+e^{i\alpha}z}{1-e^{i\alpha}z}\)(\(w_0,\alpha\in\Bbb R\), and \(w_0>0\)).

Proof   Without loss of generality, we assume \(f(0)=1\). Let

\[ h(z) =\frac{1+z}{1-z} \]

be the standard linear fractional map of \(D\) onto the right half plane. \(\forall r, 0\leqslant r<1\),  \(h(z)\) maps \(\{z: |z|\leqslant r\}\)  to the disc

\[E_r=\{w:|w-\frac{1+r^2}{1-r^2}|\leqslant\frac{2r}{1-r^2}\}.\]

According to Schwartz  lemma , it follows that

\[\left |\frac{f(z)-1}{f(z)+1}\right| \leqslant |z|,\]

Thus we are led to the conclusion that

\[ |h^{-1}(f(z))|\leqslant |z|.\]

this implies \(f(z)\in E_{|z|}\).        \(\Box\)

Complex analysis 5: Abel’s theorem

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Aug 112013
 

这里指的是复分析中关于幂级数的 Abel’s theorem, 目的是讨论幂级数在收敛圆周的性态.

\( D=\{z\in\Bbb C:|z|<1\} \). Let \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)\)be a power series, and the radius of convergence of \(f(z)\) is \(1\), \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n =s\). we cannot conclude that

\[\lim_{D\ni z\to1 }f(z)= s.\]

这个事情说来话长.

In 1916, Sierpiński constructed a power series with radius of convergence equal to \(1\), also converging on every point of the unit circle, but with the property that \(f\) is unbounded near \(z=1\).

Sierpiński 的例子很复杂, 在一本法文书上可以找到.

For odd \(n\) let  \(p_n = 1\cdot 3\cdot 5\cdots n\), For even \(n\) set \(p_n=2p_{n-1}\). Define

\[ f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}nz^{p_n}. \]

Complex analysis 4: Cauchy–Riemann equations

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Apr 072013
 

这节的目的是 Cauchy–Riemann 方程. 注意, 我们是在不涉及导数, 解析函数的前提下做这件事.

Cauchy–Riemann 方程

大名鼎鼎的 Cauchy–Riemann equations:

\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}\]

这是一个偏微分方程组, 是复分析的核心.

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations

Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations 是有联系的.

Complex analysis 3: Proofs of the fundamental theorem of algebra based on Cauchy’s theorem

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Mar 232013
 

Fundamental theorem of algebra(FTA)   Every polynomial of degree \(n\geqslant1\) with complex coeficients has a zero in \(\Bbb C\).

我们尝试使用 Cauchy 积分公式来证明代数基本定理. 其实有几个大同小异的证明, 基本的想法是一致的. 第一个证明属于 Anton R. Schep.

Proof. Let \(p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb+a_1z+a_0\) be a polynomial of degree \(n\geqslant1\) and assume that \(p(z)\ne0\) for all \(z\in\Bbb C\). Then the function defined by \(\frac1{p(z)}\) is entire. By Cauchy’s theorem,

\[\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}=\dfrac{2\,\mathrm\pi i}{p(0)}\ne 0.\]

Since

\[|p(z)| \geqslant |z|^n\left(1-\frac{|a_{n-1}|}{|z|}-\dotsb-\frac{|a_0|}{|z|^n}\right) > \frac12|z|^n\]

for \(z\) sufficiently large, so

\[\left|\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}\right| \leqslant 2\,\mathrm\pi r \cdot \max_{|z|=r}\dfrac1{|zp(z)|} = \dfrac{2\,\mathrm\pi }{\min\limits_{|z|=r}|p(z)|}\to0(r\to\infty),\]

which is a contradiction, and therefore \(p(z)\) has a zero.   \(\Box\)

这个证明还可以另一种面目表现出来: 使用关于解析函数的 Mean-Value Property(MVP).

第二个证明   依旧是反证法. 我们可以假定 \(z\in\Bbb R\) 时, \(p(z)\) 是实数(否则, 考虑 \(p(z)\overline{p}(z)\), 这里 \(\overline{p}(z)=z^n+\overline{a_{n-1}}z^{n-1}+\dotsb+\overline{a_1}z+\overline{a_0}\)). 既然, \(\forall x\in\Bbb R, p(x)\ne0\), 于是可有

\[\int_0^{2\,\mathrm\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{p(2\cos \theta)}\ne 0.\]

但是, 这个积分显然等于

\[\frac1i\int_{|z|=1}\frac{\mathrm dz}{zp(z+\frac1z)}=\frac1i\int_{|z|=1}\frac{z^{n-1}\,\mathrm dz}{q(z)},\]

这里 \(q(z)=z^np(z+\frac1z)\) 是一个多项式. 显然 \(z\ne0\) 时, \(q(z)\ne 0\), 而且 \(q(0)=1\), 于是 \(\dfrac{z^{n-1}}{q(z)}\) 是整函数. 据 Cauchy 定理, 上面的积分是 \(0\). 矛盾！

Complex analysis 2: Variation of argument, fundamental theorem of algebra

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Mar 102013
 

下面的定义在多值函数中起着重要作用:

定义 设 \(f(z)\) 是一个连续复函数, \(\gamma\) 是在 \(f(z)\) 的定义域中有意义的一简单闭曲线. 设

1) \(a\) 在曲线 \(\gamma\) 上;

2) \(f(z)\) 不经过 \(0\), 即 \(0\notin f(\gamma)\);

3) 取 \(f(a)\) 辐角的一个值, 记为 \(\alpha_1\);

4) 沿着曲线 \(\gamma\), \(f(z)\) 的辐角连续变化;

5) 沿着曲线 \(\gamma\) 一圈, 第一次回到 \(a\), 这个时候\(f(a)\) 的辐角, 记为 \(\alpha_2\),

我们把

\[\Delta_{\gamma}\arg f(z)\equiv\alpha_2-\alpha_1\]

称为 \(f(z)\) 沿 \(\gamma\) 的辐角变化总量.

下面我们用这个想法来证明代数基本定理. 这仅是一个思路, 要严格写出来, 估计要不少篇幅.

设 \(f(z)=a_nz^n+\dotsc+a_1z+a_0\).

记 \(\gamma_1\) 是圆心在原点的半径为 \(R\) 的圆. 当 \(R\) 充分大的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_1\) 的辐角变化量是 \(2n\pi\);

另一方面, 当 \(a_0\ne0\) 时, 当 \(r\) 充分小的时候, \(f(z)\) 沿 \(\gamma_2\) 的辐角变化量是 \(0\), 这里 \(\gamma_2\) 是圆心在 \(a_0\) 的半径为 \(r\) 的圆.

这两方面的矛盾说明, \(f(z)\) 必定在某个 \(z_0\) 使得 \(f(z_0)=0\).

Complex analysis 1: What is \(\sqrt{-1}\)?

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Feb 282013
 

到底什么是 \(\sqrt{-1}\)? 它存在吗? 要回答这些问题, 我们先要搞清楚: 何谓数学中的”存在”？

数学中的存在性

我们从非欧几何说起. 非欧几何还会在后面被提及.

欧几里得的”几何原本”出现以后, 第五公设一直被众多数学家广为诟病. 很多人希望用前四条公设证明平行公设, 但不能成功. 这样经过长达 2000 年努力后, 数学家开始尝试另外的道路. 1820年代, 罗巴切夫斯基用一个和平行公理矛盾的命题来代替第五公设, 然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统, 展开一系列的推理, 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思, 但在逻辑上不矛盾的命题. 这种几何是为罗巴切夫斯基几何. 从罗巴切夫斯基创立的几何学, 得出一个极为重要的, 具有普遍意义的结论: 逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学.

现在我们可以说: 数学中的存在性, 指的就是逻辑上的无矛盾性.

\(\sqrt{-1}\)的合理性

这个问题的答案, 其实就在 Ahlfors 的经典名作 “Complex analysis” 的开篇 1.3.

简单点说, 就是有一个域, \(\Bbb R\) 是其子域(或者有子域与 \(\Bbb R\) 同构), 在这个域里有一个元素 \(x\), 满足 \(x^2+1=0\).

然后, Ahlfors 用例子说明了如何构造这样的一个域.

Frobenius 有个著名的定理是这么说的: 实数域上的有限维可除代数只有 \(\Bbb R\), \(\Bbb C\), 和 \(\Bbb H\).

至于证明, 可以参考, 比如, Jacobson 的 Basic Algebra I 的第七章.

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