Power, Simplicity and Beauty
质数 \(p=4n+1\), 那么存在 \( a,b\in\Bbb Z,\) 并且 \begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\end{equation} 使得 \( p=a^2+b^2.\) 这是 Gauss 在 \(1825\) 年的一个结果, 已经指出了适合 Fermat 平方和定理的唯一一对 \(a,b\): 由 \begin{equation}a\equiv\frac12{2n\choose n}\pmod p,\quad a<\frac{|p|}2\end{equation} 可决定唯一的一个 \(a,\) 然后 \begin{equation}b\equiv …
Gauss’s construction on Fermat’s sums of two squares Read More\(n\in\Bbb N^+\), then \begin{equation}\prod_{(i,n)=1}i\equiv\begin{cases}\,-1\pmod n,\quad n=2,4,p^\alpha,2p^\alpha\\\quad1\pmod n, \quad \text{otherwise}\end{cases}\end{equation} 这里 \(i\) 跑遍 \(n\) 的缩系. 这是 Gauss 在 DA.\(78\) 给出的 Wilson 定理(Wilson’s theorem) 的推广. \(2,4,p^\alpha,2p^\alpha\) 有原根, 此种情况下, 可以给出简单的证明. 至于完整的证明, 我还没有找出满意的办法, 下面是一种途径: 先指出如下引理: \(n\geqslant2, n=2^e …
Wilson’s theorem Read More薪尽火传 “算术研究”中文版出版 Gauss 的经典传世名作, “算术研究(Disquisitiones Aritmeticae)”, 的中文版本, 已由哈尔滨工业大学出版社出版, 不过书的名字不是”算术研究”, 而是”算术探索”. Gauss 一生贡献众多, 以数论(Number Theory)中的这本”算术研究”, 以及微分几何(Differential Geometry)中的 Egregium theorem, 影响为最大. 这本书是 Gauss 于1801 年夏天出版, 全书用拉丁文(Latin)写成, 并且是最晚的使用学院拉丁文(scholarly Latin)写就的数学著作之一. 全书分为七个部分 \(335\) 篇, …
The Chinese edition of Gauss’s book “Disquisitiones Aritmeticae” has been published Read More