在平面几何中, 至少有两个 Van Aubel 定理. 第一个, 关于三角形的; 另一个, 是关于四边形的.
定理 1 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点, \(PA,PB,PC\) 分别交对边于 \(D,E,F\), 则
\[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{EA}{EC}+\dfrac{FA}{FB}.\]
这个有些时候, 也被称为 Van Obel 定理的结论据说比较给力, 可以用来解决很多问题. 至于证明, 使用面积是最简单的.
记 \(S_a=S_{\triangle PBC}, S_b=S_{\triangle PCA}, S_c=S_{\triangle PAB}\), 则
\[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{S_b+S_c}{S_a}.\]
此外, 注意到
\[\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{S_c}{S_a},\]
\[\dfrac{FA}{EB}=\dfrac{S_b}{S_a},\]
于是, 我们要得到的结果就是显然. \(\Box\)
Geometric Transformations IV: Circular Transformations 应该有一个中文译本, 最主要的理由是:
确实应该翻译这书, 姑且不论前三册已经有中文本, 只是因为内容太美好. 如果不是面对中学, 有个影印本就可以了.
重新出版的话, 最好是四册一起, 当然最重要是第四册. 前三册的翻译已经很好, 翻译第四册足以.
第四册的附录, 关于非欧几何(Non-Euclidean geometry), 是第三册附录的继续, 所以, 译者必须精通非欧几何.
或许, 我本人可以完成这个工作…
Geometric Transformations IV: Circular Transformations
I. M. Yaglom(Isaak Moiseevich Yaglom, March 6, 1921 – April 7, 1988) 的 Geometric Transformations 的第四册是 Geometric Transformations IV: Circular Transformations.
Geometric Transformations (几何变换)是前苏联数学家 I. M. Yaglom 的经典著作, 内容分为三部分, 作两册出版: 前两部分为第一册, 第三部分为第二册. 美国数学会在 \(1960\) 年代的”新数学”运动期间, 出版了一套”新数学丛书”, 其中就有这本 Geometric Transformations. 英文版分为四册, 前三册分别于 \(1962, 1968, 1973\) 年出版, 但第四册迟迟没有下文, 直到 \(2009\) 年, 才出版了第四册, 就是本文的主角, 这离第三册的面世已经过去整整 \(36\) 个年头.
北京大学出版社 \(1983\) 年以来, 陆续翻译了”新数学丛书”的一些, 所以, 读者可以在中文版的”几何变换”上看到译者的交待, 说中文版有四册, 但是实际上只出过前三册. 至于第四册, 还没有看到有出版的那一天, 北大出版社是肯定不会出了.
Geometric Transformations 大概是最系统的论述初等几何的几何变换的著作. 具体来说, 初等几何中, 除去那些具体的定理之外, 还有两个重要的有普遍意义的, 构成了几何学的一切进一步发展的基础, 的思想, 其重要性远远超出了几何学的界限. 这两个思想的一个是演绎法和几何学的公理基础, 另一个是几何变换和几何学的群论基础. 本书是阐述后者–几何变换和几何学的群论基础–的.
the Contents of Geometric Transformations IV
Yaglom 于 \(1945\) 年获得国立Moscow大学的博士学位. 他写了超过 \(40\) 本书和一些文章, 有好几本著作被译成了英文, 已经是标准的学术参考书.
意大利几何学家 L. Mascherom 于 \(1797\) 年证明了, 凡是能用尺规作出的几何图形都可以仅仅使用圆规来完成. \(1833\) 年, Jakob Steiner 根据 Poncelet 的想法, 指出: 如果给定一个圆和它的中心, 那么, 能用尺规作出的几何图形都能单独用直尺来作出.
我一直很好奇, 这些结论究竟是如何证明的? Ross Honsberger 在他的书, “Ingenuity in Mathematics”, 的第 \(15\) 节提供了一个详尽的证明, 这一节的标题是: Mascheroni and Steiner. \(1994\) 年, Norbert Hungerbuhler 给出了 Mascherom 的结果, 所谓的Mohr–Mascheroni定理, 的一个简单的证明.
线段 \(AB\) 已给, 仅仅用圆规找其中点.
本题也很有意思, 尺规作图. 不过, 这不算神奇, 即便生锈圆规出马, 也就是把圆的半径固定, 例如 \(1\), 也一样可以完成任务.
作法
俺对尺规作图(Compass and straightedge constructions)一直有浓厚的兴趣. 这里有一个有趣的问题:
圆 \(\color{red}O\) 给定, 仅仅使用圆规找出圆心.
下面给出两种作图办法, 没有证明, 但不困难. 图来自网络, 但作图办法不是.
作法 \(1\)
作法 \(2\)