Power, Simplicity and Beauty
在平面几何中, 至少有两个 Van Aubel 定理. 第一个, 关于三角形的; 另一个, 是关于四边形的. 定理 1 \(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内一点, \(PA,PB,PC\) 分别交对边于 \(D,E,F\), 则 \[\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{EA}{EC}+\dfrac{FA}{FB}.\] 这个有些时候, 也被称为 Van Obel 定理的结论据说比较给力, 可以用来解决很多问题. 至于证明, 使用面积是最简单的. 记 \(S_a=S_{\triangle PBC}, S_b=S_{\triangle …
Van Aubel’s theorem Read MoreGeometric Transformations IV: Circular Transformations 应该有一个中文译本, 最主要的理由是: 这是一本非常精彩的书, 很经典; 读者主要是中学师生. 确实应该翻译这书, 姑且不论前三册已经有中文本, 只是因为内容太美好. 如果不是面对中学, 有个影印本就可以了. 重新出版的话, 最好是四册一起, 当然最重要是第四册. 前三册的翻译已经很好, 翻译第四册足以. 第四册的附录, 关于非欧几何(Non-Euclidean geometry), 是第三册附录的继续, 所以, 译者必须精通非欧几何. 或许, 我本人可以完成这个工作…
We should translate “Geometric Transformations IV: Circular Transformations” into Chinese Read MoreI. M. Yaglom(Isaak Moiseevich Yaglom, March 6, 1921 – April 7, 1988) 的 Geometric Transformations 的第四册是 Geometric Transformations IV: Circular Transformations. Geometric Transformations (几何变换)是前苏联数学家 I. M. Yaglom 的经典著作, 内容分为三部分, 作两册出版: 前两部分为第一册, 第三部分为第二册. 美国数学会在 \(1960\) 年代的”新数学”运动期间, 出版了一套”新数学丛书”, 其中就有这本 Geometric …
Geometric Transformations IV: Circular Transformations Read More意大利几何学家 L. Mascherom 于 \(1797\) 年证明了, 凡是能用尺规作出的几何图形都可以仅仅使用圆规来完成. \(1833\) 年, Jakob Steiner 根据 Poncelet 的想法, 指出: 如果给定一个圆和它的中心, 那么, 能用尺规作出的几何图形都能单独用直尺来作出. 我一直很好奇, 这些结论究竟是如何证明的? Ross Honsberger 在他的书, “Ingenuity in Mathematics”, 的第 \(15\) 节提供了一个详尽的证明, 这一节的标题是: Mascheroni …
Geometric construction with the compass alone Read More仅用圆规找中点 线段 \(AB\) 已给, 仅仅用圆规找其中点. 本题也很有意思, 尺规作图. 不过, 这不算神奇, 即便生锈圆规出马, 也就是把圆的半径固定, 例如 \(1\), 也一样可以完成任务. 作法 分别以 \(A,B\) 为圆心, \(AB\) 为半径画圆(绿色)交于 \(C\); 在圆 \(B\) 上取 \(D,E\) 两点, 使 \(CD=DE=AB\), 则 \(AE=2AB\); 以 \(E\) 为圆心, \(AE\) 为半径画圆(黄色)交圆 \(A\) 于 \(F,G\); 分別以 \(F,G\) 为圆心, \(AF\) 为半径画圆(红色), 交于 \(A,I\) 两点, 则 \(I\) 就是 \(AB\) 中点.
Find the midpoint of a segment with compass alone Read More仅用圆规找圆心 俺对尺规作图(Compass and straightedge constructions)一直有浓厚的兴趣. 这里有一个有趣的问题: 圆 \(\color{red}O\) 给定, 仅仅使用圆规找出圆心. 下面给出两种作图办法, 没有证明, 但不困难. 图来自网络, 但作图办法不是. 作法 \(1\) 在圆 \(O\) 上任取一点 \(A\),以 \(A\) 为圆心画圆, 交圆 \(O\) 于 \(B,C\) 兩点; 分別以 \(B,C\) 为心,\(AB\) 为半径画圆交于 \(D\) 点; …
Find the center of a circle with compass alone Read More