齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性.

在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱.

实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之.

Hilbert 限制在齐次多项式.

定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 \(d\) 次齐次多项式

\begin{equation}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n)=x_0^dp\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0}\Big)\end{equation}

称为是 \(p\) 的齐次化(Homogenization). 具体来说, 当  \(p=\sum cx_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n}\), 那么

\begin{equation}\begin{split}\overline{p}(x_0, x_1,\dotsc, x_n )&=x_0^d\sum c\Big(\frac{x_1}{x_0}\Big)^{d_1}\Big(\frac{x_2}{x_0}\Big)^{d_2} \dotsm \Big(\frac{x_n}{x_0}\Big)^{d_n}\\&=\sum cx_0^{d-d_1-d_2-\dotsb-d_n}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n} \\&=\sum cx_0^{d_0}x_1^{d_1}x_2^{d_2}\dotsm x_n^{d_n},\end{split}\end{equation}

这里 \(d_0=d-d_1-d_2-\dotsb-d_n\).

定理 5.2  设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 如果 \(d\) 为偶数, 那么

• \(p\) 非负当且仅当 \(\overline{p}\)  非负;
• \(p\) 是多项式的平方和当且仅当 \(\overline{p}\)  能表成 \(\frac d2\) 次齐次多项式的平方和.

引理 5.3  假定 \(p\), \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_k\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 都是多项式, \(p=p_1^2+p_2^2+\dotsm+p_k^2\).  如果 \(p_1\), \(p_2\), \(\dotsc\), \(p_k\) 不全是零多项式, 那么

1. \(p\ne0\);
2. \(\deg(p)=2\max\{\deg(p_l)|l=1, 2, \dotsc, k\}\);
3. 如果 \(p\) 是 \(d\) 次齐次多项式, 则诸 \(p_l\) 皆是 \(\dfrac d2\) 次齐次多项式.

Proof   不妨 \(p_1\ne0\). 于是, 存在 \(x\in\Bbb R^n\), 使得 \(p_1(x)\ne0\). 然后

\[p(x)=p_1^2(x)+p_2^2(x)+\dotsm+p_k^2(x)\ge0\]

蕴涵 \(p(x)\ne0\).

写 \(p_l\) 为 \(p_l=p_{l0}+p_{l1}+p_{l2}+\dotsb+p_{ld}\), 这里 \(p_{li}\) 是 \(p_l\) 的 \(i\) 次齐次成分, \(d=\max\{\deg(p_l)|l=1, 2, \dotsc, k\}\). 很明显, \(\deg(p)\leqslant2d\); 1 表明 \(p\) 的 \(2d\) 次齐次成分 \(p^2_{1d}+p^2_{2d}+\dotsb+p^2_{kd}\ne0\), 因为有某 \(l\) 使得 \(p_{ld}\ne0\).

第 3 部分的证明与 2 完全类似, 考虑诸 \(p_l\) 的最低次齐次成分即可.  \(\Box\)

Proof   当 \(p\) 非负之时, 要证明 \(\overline{p}\) 非负, 若 \(x_0\ne0\), 由 \((1)\) 式即可; 若 \(x_0=0\), 由

\begin{equation}\overline{p}(0, x_1,\dotsc, x_n)=\lim_{h\to0}\overline{p}(h, x_1,\dotsc, x_n)\end{equation}

立得.

当 \(\overline{p}\) 非负之时, 只要注意

\begin{equation}p(x_1,\dotsc, x_n)=\overline{p}(1, x_1,\dotsc, x_n)\end{equation}

即知 \(p\) 非负.

如果\(p\) 是多项式的平方和, \(p=\sum\limits_{l=1}^kp_l^2\), 那么依据引理 5.3, \(\deg(p_l)\leqslant\dfrac d2\). 然后

\begin{equation}\overline{p}=\sum_{l=1}^k\Bigg(x_0^{\frac d2}p_l\Big(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dotsc, \frac{x_n}{x_0} \Big)\Bigg)^2 \end{equation}

说明  \(\overline{p}\)  能表成 \(\frac d2\) 次齐次多项式的平方和.

如果  \(\overline{p}\)  能表成多项式的平方和, \(\overline{p}=\sum\limits_{l=1}^kh_l^2\),

\begin{equation}p=\overline{p}(1, x_1,\dotsc, x_n)=\sum_{l=1}^k\Big(h_l(1, x_1,\dotsc, x_n)\Big)^2\end{equation}

说明 \(p\)  能表成多项式的平方和.       \(\Box\)

现在, 很容易的, 我们顺便建立二次多项式非负与平方和的联系.

定理 5.4 设二次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 那么 \(p\) 能写成多项式的平方和.

有了定理 5.2, 这个定理就是很显然的了: 只需要考虑与 \(p\) 对应的二次齐次多项式 \(\overline{p}\) 就够了. \(\overline{p}\) 是二次型. 依据高等代数的正定二次型的理论, 我们断言定理 5.4 为真.

M.D. Choi, T.-Y. Lam 1977 年举了一个例子: The Choi-Lam polynomial \(Q(x, y, z, w) =x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和. 与 The Motzkin polynomial 一样, Choi-Lam 多项式也会在以后的证明成为关键角色.

后面的定理 5.2 说明 \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和实际就是下面定理的后半部分:

定理 3.1 Choi-Lam 多项式

\begin{equation} Q(x, y,z) =x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+1-4xyz,\end{equation}

那么

• \(Q(x, y,z)\geqslant0\) 为真对任意实数 \(x\), \(y\),  \(z\);
• \(Q(x, y,z)\) 不能写成多项式的平方和.

方法是完全照搬的. 如果 \(Q(x, y, z)\) 是一些次数(至多)为 \(2\) 的多项式的平方和:

\begin{equation} Q(x, y, z) =\sum_{l=1}^k\Big(a_l+b_lx+c_ly+d_lz+e_lx^2+f_ly^2+g_lz^2+h_lxy+i_lyz+j_lzx\Big)^2,\end{equation}

这里 \(a_l\), \(b_l\), \(c_l\), \(d_l\), \(e_l\), \(f_l\), \(g_l\), \(h_l\), \(i_l\) 和 \(j_l\) 都是实常数, \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

\((1)\) 没有 \(x^4\), \(y^4\), \(z^4\) 项, 因此\((2)\) 的右边的这些项的系数为 \(0\). 于是

\[\sum_{l=1}^ke_l^2=\sum_{l=1}^kf_l^2=\sum_{l=1}^kg_l^2=0,\]

故 \(e_l=f_l=g_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

\((1)\) 没有 \(x^2\) 项, 因此\((2)\) 的右边的 \(x^2\) 项的系数为 \(0\). 于是

\[\sum_{l=1}^k\Big(b_l^2+2a_le_l\Big)=0,\]

故 \(b_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

同样的, \((1)\) 没有 \(y^2\), \(z^2\) 项, 因此 \(\sum\limits_{l=1}^kc_l^2=0\). 于是 \(c_l=d_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

注意 \((1)\) 中的 \(xyz\) 项的系数是 \(-4\), 故

\[2\sum_{l=1}^k\Big(b_li_l+c_lj_l+d_lh_l\Big)=-4.\]

但这是不可能的, 因  \(b_l=c_l=d_l=0\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\), 故而 \(Q(x, y, z)\) 不能写成多项式的平方和.

类似定理 2.1, 我们也可以使用定理 2.2 来直接证明 \(Q(x, y, z, w) =x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和:

\begin{equation} Q(x, y, z, w) =\sum\Big(A_lx^2+B_lxy+C_lxz+D_ly^2+E_lxw+F_lz^2+G_lyz+H_lyw+I_lzw+J_lw^2\Big)^2.\end{equation}

比较两端 \(x^4\), \(y^4\), \(z^4\) 的系数, 得 \(A_l=D_l=F_l=0\).

比较两端 \(x^2w^2\) 的系数, 得

\[\sum\Big(2A_lJ_l+E_l^2\Big)=0.\]

故 \(E_l=0\). 类似的推理, \(H_l=I_l=0\).

此时, \((3)\) 已经是如下

\begin{equation} Q(x, y, z, w) =\sum\Big(B_lxy+C_lxz+G_lyz+J_lw^2\Big)^2.\end{equation}

比较上式两端 \(xyzw\) 的系数, 矛盾!

设 \(p\) 是实系数的 \(n\) 元多项式, \(S\) 是 \(n\) 维 Euclidean space \(\Bbb R^n\) 的子集. 我们说 \(p\) 在 \(S\) 上是非负的(non-negative), 如果对于任意的 \(x\in S\), 有 \(p(x)\geqslant0\).

我们下面关注的重点是 \(\Bbb R^n\) 上的非负(non-negative)多项式, 即对于任意的 \(x\in \Bbb R^n\), 有 \(p(x)\geqslant0\).

要探讨的, 非负多项式是否就是可以表为多项式的平方和的那些多项式? 这是一个古老的问题, 与 Hilbert’s seventeenth problem 有关, 早已有答案: 回答”差不多”是肯定的. 换言之, 非负多项式确实可以表示成平方和, 但一般而言是有理函数而不是多项式的平方和.

先从简单的情形一元多项式开始.

Theorem 1.1 \(p(x)\geqslant0\) 对所有的实数 \(x\) 为真, 则存在一元多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\), 使得 \(p(x)=f^2(x)+g^2(x)\) 恒成立.

这是一个平凡的结果, 估计可以在很多的高等代数的书上找到, 使用一下实系数多项式的因式分解标准式即可.

我们可以按照这个步骤来验证:

设

\begin{equation} p=a\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{m_i}\prod_{j=1}^l\Big(x^2+2b_jx+c_j\Big),\end{equation}

这里诸 \(a_i\) 皆是实数, 诸 \(x^2+2b_jx+c_j\) 都无实根.

那么, 以下三条陈述相互等价:

1. \(p(x)\geqslant0\) on \(\Bbb R\);
2. \(a\gt0\), 且诸 \(m_i\) 都是偶数;
3. 存在多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\), 使得 \(p(x)=f^2(x)+g^2(x)\).

事实上, 很容易说明 \( 1 \implies  2 \implies 3 \implies 1\).

定理 1.1 其实是基于 \(\Bbb C[x]\) 与 Gaussian integers \(\Bbb Z[i]\) 的一个类比. 把 \(\Bbb C[x]\) 视为 Euclidean domain \(\Bbb R[x]\) 添加 \(i\) 得到的二次扩张; \(\Bbb Z[i]\) 看作 Euclidean domain \(\Bbb Z\) 添加 \(i\) 得到的二次扩张. 在这个类比, 线性多项式类似 \(3\pmod4\) 的质数, 后者依旧是 \(\Bbb Z[i]\) 中的质数; 二次不可约多项式类似非 \(3\pmod4\) 的质数, 后者不是 \(\Bbb Z[i]\) 中的质数. 非 \(0\) 整数 \(n\in Z\) 是两个整数的平方和当且仅当其为正并且每个 \(3\pmod4\) 的质数因子在标准分解式出现偶数次. 类似的, 多项式 \(p\in\Bbb R[x]\) 是两个多项式的平方和当且仅当取值非负并且每个线性因子出现偶数次.

多元多项式的情形复杂得多. 我们不能指望 Theorem 1.1 可以简单的推广到多元多项式. 事实上, 只在很少的情况下, 非负多元多项式可以写成多项式的平方和.

一般来说, 如果 \(R[i]\) 和 \(R\) 都是唯一因子分解整环(Gauss domain), 那么 \(R\) 中的某些质数在 \(R[i]\) 有两个共轭, 但 \(R\) 中其余的那些质数依旧是 \(R[i]\) 的质数. 这使得我们总能对 \(R\) 中那些能写成两个平方和的元素予以某种刻画. 这些道理对多元多项式环 \(R=\Bbb R[x]\) 确实是适用. 但是, 出现问题的地方即在于对于 \(\Bbb R[x]\) 的非负多项式 \(p\), 其不可约因子不一定出现偶数次.