定义

定义 1[离散形式] 称 \( p=(p_1,p_2,\dotsc,p_n)\)Majorization(控制) \( q=(q_1,q_2,\dotsc,q_n)\), 记为 \(p \succ q\), 如果\( \overline{p}=(\overline{p_1} ,\overline{p_2} ,\dotsc, \overline{p_n}) \) 与 \(\overline{q}=(\overline{q_1} ,\overline{q_2} ,\dotsc, \overline{q_n})\) 分别是 \(p\) 与 \(q\)  的重新排序, 使得 \( \overline{p_1} \geq \overline{p_2} \geq \dotsb \geq \overline{p_n},  \overline{q_1} \geq \overline{q_2}\geq\dotsb \geq\overline{q_n}\), 并且满足如下两个条件:

• \(\sum\limits_{i=1}^k \overline{p_i} \geq \sum\limits_{i=1}^k \overline{q_i} \), 当 \(k=1,2,\dotsc,n-1\)时;
•  \(\sum\limits_{i=1}^n p_i = \sum\limits_{i=1}^n q_i \).

定义 2[积分形式] 设 \( f(x), g(x)\) 是区间 \([a,b]\) 上的递增函数，称 \(f \) Majorization(控制) \(g\), 记为 \(f \succ g\),  如果

•  \(\int_a^xf(t)\mathrm{d}t \geq \int_a^x g(t)\mathrm{d}t \), 当\(a<x<b\)时;
•  \(\int_a^bf(t)\mathrm{d}t = \int_a^bg(t)\mathrm{d}t \).

定义 3[\(p\)-平均] 设 \( x_1,x_2,\dotsc,x_n\) 为正实数, \(p=(p_1,p_2,\dotsc,p_n)\in \Bbb R^n.  x_1,x_2,\dotsc,x_n\) 的 \(p\)-平均 定义为

\[ [p]= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n}\prod_{i=1}^nx_{\sigma(i)}^{p_i}, \]

这里 \(S_n\) 是 \(1,2,\dotsc,n\) 的所有排列组成的集合.

 

                                     主要结果

Majorization inequality (控制不等式)

1. 离散形式   设 \( p=(p_1,p_2,\dotsc,p_n), q=(q_1,q_2,\dotsc,q_n)\),  所有的 \(p_i,q_i \in (a,b)\). 若 \(p \succ q, \varphi(x)\) 为区间 \((a,b)\) 内的凸函数(Convex function)，则下式为真 \begin{equation}\sum_{i=1}^n\varphi(p_i)\geq \sum_{i=1}^n\varphi(q_i).\end{equation}
2. 积分形式    \( f(x), g(x)\) 是区间 \([a,b]\) 上的递增函数, \(f \succ g, \varphi(x)\) 在区间 \(a,b]\) 上是连续凸函数，则下式为真 \begin{equation}\int_a^b\varphi(f(x))\mathrm{d}x \geq \int_a^b\varphi(g(x))\mathrm{d}x.\end{equation}

Muirhead’s Inequality   设 \( x_1,x_2,\dotsc,x_n\) 为正实数, \(p,q \in \Bbb R^n \). 如果 \(p \succ q\), 则 \([p] \geq [q]\); 并且当 \(p \ne q\) 时, 等号成立当且仅当 \(x_1=x_2= \dotsc =x_n\).

 

                                  主要结果的证明

下面是这些定理的证明，先从最简单的 Majorization inequality开始!

Majorization inequality 的离散形式证明  记 \(r_i=\frac{\varphi(q_i)-\varphi(p_i)}{q_i-p_i}\), 则 \(r_i\) 递减，这是因为 \(\varphi(x)\) 是凸函数.

令

\begin{equation}P_k=\sum_{i=1}^kp_i,Q_k=\sum_{i=1}^kq_i, k=1,2,\dotsc, n; P_0=0,Q_0=0.\end{equation}

于是, 当 \(i=1,2,\dotsc,n-1\) 时, \(P_i \geq Q_i\), 而 \(P_n=Q_n\).

由于

\begin{equation}\begin{split}\sum_{i=1}^n\varphi(p_i)-\sum_{i=1}^n\varphi(q_i) & = \sum_{i=1}^n(\varphi(p_i)-\varphi(q_i) ) \\& = \sum_{i=1}^n r_i (p_i-q_i) \\& = \sum_{i=1}^n r_i (P_i-P_{i-1}-Q_i+Q_{i-1}) \\& = \sum_{i=1}^n r_i (P_i-Q_i) – \sum_{i=1}^n r_i (P_{i-1}-Q_{i-1}) \\& =\sum_{i=1}^{n-1} r_i (P_i-Q_i) – \sum_{i=0}^{n-1} r_{i+1} (P_i-Q_i)\\&= \sum_{i=1}^{n-1}(r_i- r_{i+1})(P_i-Q_i),\end{split}\end{equation}

注意 \(i=1,2,\dotsc,n-1\) 时, \(r_i \geq  r_{i+1}\), 因之我们的证明得以完成.

 

Muirhead’s Inequality 的证明不少, 先看一个比较传统的:

Muirhead’s Inequality 的归纳证明   先看 \(n=2\)的情况.

我们来指出: 若 \((n,m) \succ (p,q), x,y > 0\), 则

\begin{equation}x^ny^m+x^my^n \geq x^py^q + x^qy^p,\end{equation}

等号成立当且仅当 \(x=y\) 或者 \( n=p,m=q\).

事实上, 记 \(w= \frac{n-q}{n-m}\), 因为 \(n\geq  p \geq q \geq  m\), 于是 \(0 \leq w \leq1, 0 \leq  1-w \leq  1\).

由 Generalized mean inequality(幂平均不等式)，得

\begin{equation}\begin{split}x^ny^m+x^my^n & = wx^ny^m + (1-w)x^my^n +wx^my^n +(1-w)x^ny^m \\& \geq x^{wn} y^{wm}x^{(1-w)m}y^{(1-w)m} +x^{wm}y^{wn}x^{(1-w)n}y^{(1-w)m} \\& = x^{wn +(1-w)m}y^{wm+ (1-w)m}+ x^{wm+(1-w)n}y^{wn+(1-w)m} \\& = x^py^q + x^qy^p .\end{split}\end{equation}

接下来，要说明的是：如果