Power, Simplicity and Beauty
Fermat 的平方和定理： 素数 \(p\equiv1\pmod4\)，则 \(p\) 能表成两个整数 \( a, b\) 的平方和 \(p=a^2+b^2\). 是很精彩的定理，在堆垒数论很经典，我们很感兴趣。今天先来谈一点关于它的历史。 在历史上，最早考虑把正整数（不仅仅是素数）表示成两个正整数的平方和的可能性的问题的数学家是 Albert Girard. 他的论文发表在 1625 年。前面刚刚提到的Fermat 平方和定理有时候也称为 Girard 定理。至于 Fermat, 他在1640年12月25日给 Marin Mersenne 的一封信对这个定理给出了一个详尽的描述，同时也定出了把 \(p\) 的幂表成两个整数的平方和有多少种方法。 Albert Girard 小传 …
Fermat’s theorem on sums of two squares: History Read More既然奇次多项式会变号, 那么设 \(d\) 次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 则 \(d\) 为偶数. 我们以后只要关注偶次多项式就行了.
Hilbert’s 17th Problem 6: History Read More齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 …
Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial Read More1971 IMO P1 Prove that the following assertion is true for \(n = 3\) and \(n = 5\), and that it is false for every other natural number \(n\gt2\): If …
Hilbert’s 17th Problem 4: The Anneli Lax-Peter Lax form Read MoreM.D. Choi, T.-Y. Lam 1977 年举了一个例子: The Choi-Lam polynomial \(Q(x, y, z, w) =x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和. 与 The Motzkin polynomial 一样, Choi-Lam 多项式也会在以后的证明成为关键角色. 后面的定理 5.2 说明 \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+w^4-4xyzw\) 不能写成多项式的平方和实际就是下面定理的后半部分: 定理 3.1 Choi-Lam …
Hilbert’s 17th Problem 3: The Choi-Lam polynomial Read MoreT. Motzkin 1967 年举了一个例子: The Motzkin polynomial \(M(x, y, z)=x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2\) 不能写成多项式的平方和. 后面的定理 5.2 说明这事与定理 2.1 的第二部分是等价的. Theorem 2.1 Motzkin 多项式 \begin{equation} M(x, y) =x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1,\end{equation} 那么 \(M(x, y)\geqslant0\) 对任意实数 \(x\), \(y\) …
Hilbert’s 17th Problem 2: The Motzkin polynomial Read More设 \(p\) 是实系数的 \(n\) 元多项式, \(S\) 是 \(n\) 维 Euclidean space \(\Bbb R^n\) 的子集. 我们说 \(p\) 在 \(S\) 上是非负的(non-negative), 如果对于任意的 \(x\in S\), 有 \(p(x)\geqslant0\). 我们下面关注的重点是 \(\Bbb R^n\) 上的非负(non-negative)多项式, 即对于任意的 \(x\in \Bbb R^n\), …
Hilbert’s 17th Problem 1: Non-negative polynomials on \(\Bbb R\) Read MoreEuclidean algorithm, 也就是常说的辗转相除法, 通过有限步骤来找出两个整数 \(a,b\) 的最大公约数 \((a,b)\). 具体说来, \(a,b\in\Bbb Z\), 我们假定 \(b>0\), 并记 \(r_0=a, r_1=b\). 据带余除法, 可有 \[r_0=q_1r_1+r_2,\quad 0<r_2<r_1, q_1=\left[\frac{r_0}{r_1}\right];\] \[r_1=q_2r_2+r_3,\quad 0<r_3<r_2, q_2=\left[\frac{r_1}{r_2}\right];\] \[\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\] \[r_{n-1}=q_nr_n,\quad q_n=\left[\frac{r_{n-1}}{r_n}\right].\] \(\left[x\right]\) …
Euclidean algorithm and Fermat’s theorem on sums of two squares Read More