The prime tuples conjecture and \(\pi(m+n)\leqslant\pi(m)+\pi(n)\)

质数 \(k\)-tuples 猜想和 \(\pi(m+n)\leqslant\pi(m)+\pi(n)\) 是 Hardy 和 Littlewood 提出的两个关于质数分布的猜测. 习惯上, 人们也把前一个猜想称为第一 Hardy-Littlewood 猜想(Prime \(k\)-tuple), 后一个称为第二 Hardy-Littlewood 猜想(Second Hardy–Littlewood conjecture). 这两个猜想都还没有解决, 但数学家们倾向于认为质数 \(k\)-tuples 猜想是正确的, 并且存在无穷多组正整数 \(m,n\), 使得 \(\pi(m+n)\gt\pi(m)+\pi(n)\).

质数 \(k\)-tuples 猜想

整数 \(k_0\geqslant1\), \(k_0\)-tuples

\[\mathcal H=(h_1,h_2,\dotsc,h_{k_0}),\]

这里 \(h_1,h_2,\dotsc,h_{k_0}\) 是 \(k_0\) 个互不相同的整数, 并且 \(h_1\lt h_2\lt \dotsb\lt h_{k_0}\). 那么, 是否存在无穷多个 \(n\), 使得 \(n+\mathcal H=(n+h_1,n+h_2,\dotsc,n+h_{k_0})\) 全部由质数组成? \(k_0=1\) 就是质数的无限性. 至于 \(k_0=2\), 就很困难了, \(\mathcal H=(0,2)\) 即为当前搅翻数学界的孪生质数猜想.

显然的, 不能指望对于任意的 \(\mathcal H\), 都有这么好的结果. 就拿 \(\mathcal H=(0,1)\) 来说, 每个 \(n+\mathcal H=(n,n+1)\) 由两个相邻的整数组成, 只有 \((2,3)\) 包含两个质数. 一般来说, 如果存在质数 \(p\), 使得可以从 \(\mathcal H\) 中选出 \(p\) 个数作为 \(\bmod  p\) 的完系, 那么对于任意的正整数 \(n\), \(n+\mathcal H\) 至少包含一个 \(p\) 的倍数. 于是, 只可能有有限个 \(n\), 使得 \(n+\mathcal H\) 全部由质数组成.

于此, 我们必须对 \(\mathcal H\) 添加一些限制条件, 来避免这种情况. \(k_0\)-tuples \(\mathcal H\) 称为允许的(admissible), 如果对于任意质数 \(p\), 总存在 \(\bmod  p\) 的至少一个剩余类, 使得 \(\mathcal H\) 不包括这剩余类的任何数. 作为例子, \((0,2), (0,2,6)\) 都是允许的, 但 \(0,2,4\) 不被允许, 因为 \(0,2,4\) 是 \(\bmod  3\) 的完系.

现在, 我们可以正式的把 Hardy-Littlewood 质数 tuples 猜想陈述如下:

Hardy-Littlewood prime tuples conjecture  如果 \(k_0\)-tuples \(\mathcal H\) 是允许的, 那么, 存在无穷多个正整数 \(n\), 使得 \(n+\mathcal H\) 全部由质数组成.

这个猜想太困难了. 实际上, 数学家还没有找到任何一个允许的 \(k_0\)-tuples \(\mathcal H\)\((k_0\geqslant2)\), 来证明这猜想是成立的. 仅仅是前不久, 张益唐的工作的横空出世, 我们才得知, 存在一个正整数 \(h\), 满足 \(0\lt h\lt 70,000,000\), 使得这猜想对于 \((0,h)\) 是成立的. 虽然, Tao(陶哲轩), Ben Green 等人接下来的工作, 已经把 \(70,000,000\) 大大降低, 目前是 \(5414\), 但我们仍然不清楚 \(h\) 到底是多少.

Second Hardy–Littlewood conjecture

1923 年, Hardy 和 Littlewood 发表了一篇论文[1]. 这篇长达 \(70\) 页, 已经是数论史上的经典, 的论文提出, 对任意整数 \(m,n\geqslant2\),

\[\pi(m+n)\leqslant\pi(m)+\pi(n).\]

这猜想, 如今被冠名为第二 Hardy–Littlewood 猜想.

质数 tuples 猜想与第二 Hardy–Littlewood 猜想不能同时成立

1974 年, Ian Richards 和他的博士研究生 Douglas Hensley 指出[2], Hardy-Littlewood 的两个猜想, 是不相容的. 也就是说, 这两个猜想, 至少有一个是不成立的.

张益唐的工作与此有关. Engelsma 指出, 如果质数 tuples 猜想为真, 那么, 存在无穷多个正整数 \(n\), 使得

\[\pi(n+3159)-\pi(n)=447\gt\pi(3159)=446.\]

Annotations

1. 第一部分, 对于质数 tuples 猜想的介绍, 参考了 Tao 的一篇 blog.

References

1. G. H. Hardy and J. E. Littlewood, On some problems of “partitio numerorum III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math, 1923, 44: 1–70.
2. D. Hensley and I. Richards, Primes in intervals. Acta Arith. 25 (1974), pp. 375-391.
3. conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem. Bulletin of the American Mathematical Society 80:3 (1974), pp. 419-438.