The primes doesn’t contain infinite long arithmetic progressions

不存在无穷质数等差数列. 下面是几种证明:

设等差数列的首项为 \(a\), 公差为 \(d\).

证明 1

分两种情况:

• a=1. 此时 \(1+(d+2)d=(d+1)^2\) 是合数;
• \(a\geqslant2\). 此时 \(a+ad=a(d+1)\) 是合数.

证明 2

连续合数可以任意长, 这是熟知的. 不曾想,  一个副产品居然就是我们的目标.

\((m+1)!+2,(m+1)!+3,\dotsc,(m+1)!+m+1\) 是 \(m\) 个连续合数.

证明 3

稍强一点的结果 采用完全剩余系

取一个与公差 \(d\) 互质的正整数 \(m\),

\[a, a+d, a+2d, \dotsc, a+(m-1)d\]

将跑遍 \(\bmod  m\) 的完全剩余系, 于是必有一项 \(\equiv0\pmod m\).

证明 4

这个结论也是熟知的: 不存在多项式

\[f(x)=\sum\limits_{i=0}^ma_ix^i,\]

使得对于任意 \(n∈\Bbb N, f(n)\) 都是质数.

证明 5

这个高级一点点: 采用自然密率 (natural density 或 asymptotic density), 而不是更常见的 Schnirelmann 密率 (Schnirelmann density).

由质数组成的集合的 asymptotic density 是 \(0\), 而等差数列形成的集合的 asymptotic density 为正.

证明 6

使用中国剩余定理证明”连续合数可以任意长”的加强版. 这个证明来自 matrix67 在2015年5月30日的日志, 但这里一些改进.

任取 \(n\) 个两两互质的正整数 \(m_1\), \(m_2\), \(\dotsc\), \(m_n\). 存在正整数 \(a\), 使得

\[m_i|\left(a+i\right),  i=1, 2, \dotsc, n.\]

[证明 6 更新于 北京时间 2015 年 6 月 24 日]