第十届东南数学奥林匹克

第一天

(2013 年 7 月 27 日     上午 8:00-12:00)         江西     鹰潭

1. 实数 \(a,b\) 使得方程 \(x^3-ax^2+bx-a=0\) 有三个正实根. 求 \(\dfrac{2a^3-3ab+3a}{b+1}\) 的最小值.

2. 如图, 在 \(\triangle ABC\) 中, \(AB\gt AC\), 内切圆 \(I\) 与 \(BC\) 边切于点 \(D\), \(AD\) 交内切圆 \(I\) 于另一点 \(E\), 圆 \(I\) 的切线 \(EP\) 交 \(BC\) 的延长线于点 \(P\), \(CF\) 平行 \(PE\) 交 \(AD\) 于点 \(F\), 直线 \(BF\) 交圆 \(I\) 于点 \(M,N\), 点 \(M\) 在线段 \(BF\) 上, 线段 \(PM\) 与圆 \(I\) 交于另一点 \(Q\). 证明:\(\angle ENP=\angle ENQ\).

3. 数列 \(\{a_n\}\) 满足: \(a_1=1,a_2=2,a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+(-1)^n}{a_{n-1}}(n=2,3,\dotsc)\). 证明: 该数列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项.

4. 十二个杂技演员编号分别为 \(1,2,\dotsc,12\), 将他们按适当方式分别围成 \(A,B\) 两个圈, 每圈 \(6\) 人, 其中 \(B\) 圈的每个演员分别站在 \(A\) 圈相邻两个演员的肩膀上. 如果 \(B\) 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和, 就称这样搭配成的结构为一个”塔”. 问总共能搭成多少个结构不相同的”塔”?
(注: 旋转或对称后的塔属于同一种结构. 以 \(8\) 个人的情况为例, 画一个圆, 将底层演员编号填在圈内, 上层演员编号填在圈外, 那么以下三个图均是”塔”, 但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得, 故它们属于同一种结构.)

第二天

(2013 年 7 月 28 日  上午 8:00-12:00)     江西   鹰潭

1. 设 \(f(x)=\left[\dfrac x{1!}\right]+\left[\dfrac x{2!}\right]+\dotsb+\left[\dfrac x{2013!}\right], [x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数. 对于整数 \(n\), 若关于 \(x\) 的方程 \(f(x)=n\) 有实数解, 则称 \(n\) 为好数. 求集合 \(\{1,3,5,\dotsc,2013\}\) 中好数的个数.

2. 设 \(n\) 为大于 \(1\) 的整数. 将前 \(n\) 个素数从小到大依次记为 \(p_1,p_2,\dotsc,p_n\)(即 \(p_1=2,p_2=3,\dotsc\)). 令 \(A=p_1^{p_1}p_2^{p_2}\dotsm p_n^{p_n}\). 求所有正整数 \(x\), 使得 \(\dfrac Ax\) 为偶数, 且 \(\dfrac Ax\) 恰有 \(x\) 个正约数.

3. 将 \(3\times3\) 正方形任意一个角上的 \(2\times2\) 正方形挖去, 剩下的图形称为”角形”(例如, 图 1 就是一个角形). 现于 \(10\times10\) 方格表(图 2)中放置一些两两不重叠的角形, 要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合. 求正整数 \(k\) 的最大值, 使得无论以何种方式放置了 \(k\) 个角形之后, 总能在方格表中再放入一个完整的角形.

4. 设整数 \(n\geqslant3,\alpha,\beta,\gamma\in(0,1),a_k,b_k,c_k\geqslant0(k=1,2,\dotsc,n)\) 满足

\[\sum_{k=1}^n(k+\alpha)a_k\leqslant\alpha, \sum_{k=1}^n(k+\beta)b_k\leqslant\beta, \sum_{k=1}^n(k+\gamma)c_k\leqslant\gamma.\]

若对任意满足上述条件的 \(a_k,b_k,c_k(k=1,2,\dotsc,n)\), 均有 \(\sum\limits_{k=1}^n(k+\lambda)a_kb_kc_k\leqslant\lambda\), 求 \(\lambda\) 的最小值.