2019 第 60 届 IMO 解答

Problem 1 ()

很稀松平常的方程. 令 \(a=0\), 于是

\[f(0) + 2f(b) = f(f(b)).\]

因此, 我们只要考察

\[f(2a) + 2f(b) = f(0) + 2f(a+b) \]

就成.

令 \(a=1\), 我们有

\[f(2) + 2f(b) = f(0) + 2f(1+b). \]

这也就是 \(f(b+1) – f(b) =\frac{f(2)-f(0)}2\). 从而, \(f(n)\) 是线性的. 设 \(f(n)=An+B\)(\(A\), \(B\) 是待定的常数). 结合 \(f(0) + 2f(n) = f(f(n))\) 可知

\[B+2(An+B)=A(An+B)+B.\]

于是 \(2A=A^2\), \(3B=AB+B\). 故而, \((A,B)=(0,0)\), \((2, k)\), 这里 \(k\) 是任意的整数.

经检验, \(f(n)=0\) 与 \(f(n)=2n+k\) 符合要求(\(k\) 是任意的整数常数).

综上所述, 所求的函数即是 \(f(n)=0\) 与 \(f(n)=2n+k\) (\(k\) 是任意的整数常数).

Problem 2 ()