第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二

第一天

2015 年 3 月 18 日上午 8:00-12:30

1. 对正整数 \(n\), 及 \(\{1,2,\dotsc,2n\}\) 的一个非空子集 \(A\), 如果集合 \(\{u\pm v|u,v\in A\}\) 不包含集合 \(\{1,2,\dotsc,n\}\), 那么称 \(A\) 是好子集. 求最小的实数 \(c\), 使得对于任意正整数 \(n\), 及 \(\{1,2,\dotsc,2n\}\) 的任意一个好子集 \(A\), 均有 \(|A|\leq cn\).

2. 设整数 \(n\geq2\), \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\in\Bbb R^+\), 求证:

\[\left(\dfrac{ \sum\limits_{j=1}^n\left(\prod\limits_{k=1}^j a_k\right)^{\dfrac1j}}{\sum\limits_{j=1}^n a_j}  \right)^{\dfrac1n}+\dfrac{\left(\prod\limits_{i=1}^n a_i\right)^{\dfrac1n}}{\sum\limits_{j=1}^n\left(\prod\limits_{k=1}^j a_k\right)^{\dfrac1j}}\leq\dfrac{n+1}n.\]

3. 如图, 在锐角三角形 \(\triangle ABC\) 中, \(AB\lt AC\), 点 \(O\) 和点 \(G\) 分别是 \(\triangle ABC\) 的外心和重心. \(D\) 为边 \(BC\) 的中点, 以 \(BC\) 为直径的圆上的一点 \(E\) 满足 \(AE\perp BC\), 且 \(A\), \(E\) 在直线 \(BC\) 的同侧. 延长 \(EG\) 交 \(OD\) 于点 \(F\), 过 \(F\) 分别作 \(OB\), \(OC\) 的平行线, 与 \(BC\) 分别交于 \(K\), \(L\). 线段 \(AB\), \(AC\) 内分别存在点 \(M\), \(N\), 使得 \(MK\perp BC\), \(NL\perp BC\). 设 \(\omega\) 是过点 \(B\), \(C\) 且与 \(OB\), \(OC\) 相切的圆, 求证: \(\triangle AMN\) 的外接圆与 \(\omega\) 相切.

2015 China team selection test 2 problem 3

第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二

第二天

2015 年 3 月 19 日上午 8:00-12:30

4. 设 \(n\) 是给定的正整数, \(f_1(x)\), \(f_2(x)\), \(\dotsc\), \(f_n(x)\) 是 \(n\) 个定义在实数集上的实值有界函数, \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\) 是 \(n\) 个互不相同的实数. 证明: 存在实数 \(x\), 使得

\[\sum_{i=1}^nf_i(x)- \sum_{i=1}^nf_i(x-a_i)\lt1.\]

5. 设 \(S\) 是集合 \(\{1,2,\dotsc,2015\}\) 的一个 \(68\) 元子集. 证明: 存在 \(S\) 的三个互不相交的非空子集 \(A\), \(B\), \(C\), 满足 \(|A|=|B|=|C|\), 且 \(\sum\limits_{a\in A}a=\sum\limits_{b\in B}b=\sum\limits_{c\in C}c\).

6. 证明: 存在无穷多个正整数 \(n\), 使得 \(n^2+1\) 无平方因子.