第一天
2013年3月18日上午 8:00-12:30
1. 对整数 \(k\geqslant2\), 设 \(T_k=\{(x,y)|x,y=0,1,\dotsc,k-1\}\) 为直角坐标平面内的 \(k^2\)个点组成的集合, 将 \(T_k\) 中的点对之间的所有不同距离从大到小记为
\[d_1(k)>d_2(k)>\dotsb.\]
令 \(S_i(k)\) 为 \(T_k\) 中距离等于 \(d_i(k)\) 的无序点对的个数.
证明: 若正整数 \(m>n>i\), 则 \(S_i(m)=S_i(n)\).
2. 证明: 存在正常数 \(K\) 及严格递增的无穷正整数数列 \(\{a_n\}\), 使得对任意正整数 \(n\), 均有 \(a_n<K\cdot (1.01)^n\), 且数列 \(\{a_n\}\) 中的任意有限多个不同项之和不是完全平方数.
3. 设 \(A\) 是平面内 \(6\) 个点组成的集合, 记 \( n(A)\) 为经过 \(A\) 中至少 \(3\) 个点的单位圆的个数. 求 \( n(A)\) 的最大可能值.
第二天
2013年3月19日上午 8:00-12:30
4. 设整数 \(N>1\) 的标准分解为 \(N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dotsm p_k^{\alpha_k}\), 记
\[\Omega(N)=\alpha_1+\alpha_2+\dotsb+\alpha_k.\]
设 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\) 为正整数, \(P(x)=(x+a_1)(x+a_2)\dotsm (x+a_n)\). 已知对任意正整数 \(k\), \(\Omega(P(k))\) 均为偶数. 证明: \(n\) 为偶数.
5. 求具有下述性质的最大正整数 \(m\): 对全体正整数的任意一个排列 \(a_1,a_2,a_3,\dotsc\), 总存在正整数 \(i_1<i_2<\dotsb<i_m\), 使得 \(a_{i_1},a_{i_2},\dotsc,a_{i_m}\) 构成公差为奇数的等差数列.
6. 设 \(a_0,a_1,\dotsc,a_n(n\geqslant1)\) 是非负实数, 记 \(S_k=\sum\limits_{i=0}^kC_k^ ia_i,k=0,1,\dotsc,n\), 其中约定 \(C_0^0=1\). 求证:
\[\dfrac1n\sum_{k=0}^{n-1}S_k^2-\dfrac1{n^2}\left(\sum_{k=0}^{n}S_k\right)^2\leqslant\dfrac4{45} \left(S_n-S_0\right)^2.\]