Aug 292013
Group action(the action of a group on a set, 群在集合上的作用) 是任何一本像样的群论入门书都会讲到的概念. 这概念是如此的重要, 在几何, 拓扑, 分析, 数论中用处广泛, 更不论代数了.
需要说明的是, 不仅仅有群在集合上的作用, 也有群在群上的作用. 这里, 我们只关注前者. 1998 Fields Medalist Timothy Gowers 曾以此为主题, 写过一个系列. 我这里东施效颦.
Let \(G\) be a group and let \(X\) be a set. Let \(S(X)\) be the group of all permutations of \(X\). An action or an operation of \(G\) on \(X\) is a homomorphism
\[\pi\colon G\to S(X)\]
of \(G\) into \(S(X)\).