abstract algebra

Theorem. There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\). The relevant facts are that \(S_4\) is a complete group(no outer automorphisms, trivial center) which is …

There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\) Read More

群通常是这么定义的: 如果在一个非空集合 \(G\) 上的一个二元运算(群运算), 记作 \(ab\), 满足下面的三个条件:  结合律: 对于 \(G\) 中任意元素 \(a\), \(b\), \(c\), 有 \((ab)c=a(bc)\); 存在(左)单位元: \(G\) 中有一个 \(e\), 使得对于 \(G\) 中任意元素 \(a\), 有 \(ea=a\); 存在(左)逆元: 对 \(G\) 中任意元素 \(a\), …

Abstract algebra 3: Definition of group Read More

记 \[K=\Bbb Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\dotsc,\sqrt{p_n},\dotsc),\] 这里 \(p_n\) 表示第 \(n\) 个质数, \(n=1,2,\dotsc\). 容易说明, \(K/\Bbb Q\) 是代数扩张. 现在我们关心的是, \(K/\Bbb Q\) 是无限扩张吗? 直觉告诉我们, 答案是肯定的! 如何证明? 有点难度, 远远不是看上去那么简单.

Abstract algebra 1: Square roots of primes are linearly independent over rationals Read More

先看一个随便打开一本初步的群论书籍都很可能见到的习题, 例如 Serge Lang 的 “Algebra(Revised third edition)” 的 \(75\) 页: Let \(H,K\) be finite subgroups of a group \(G\). Show that \[|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.\] 常见的至少两种做法, 这里就不重复了. 现在我们尝试使用 group action 这个武器来进攻. 考察映射 …

Group actions 2: the Orbit-Stabilizer theorem Read More

Group action(the action of a group on a set, 群在集合上的作用) 是任何一本像样的群论入门书都会讲到的概念. 这概念是如此的重要, 在几何, 拓扑, 分析, 数论中用处广泛, 更不论代数了. 需要说明的是, 不仅仅有群在集合上的作用, 也有群在群上的作用. 这里, 我们只关注前者. 1998 Fields Medalist Timothy Gowers 曾以此为主题, 写过一个系列. 我这里东施效颦. Let \(G\) be a …

Group actions 1 Read More