IMO 2019 solutions
2019 第 60 届 IMO 解答 Problem 1 () 很稀松平常的方程. 令 \(a=0\), 于是 \[f(0) + 2f(b) = f(f(b)).\] 因此, 我们只要考察 \[f(2a) + 2f(b) = f(0) + 2f(a+b) \] 就成. 令 …
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IMO 2017 solutions II
只聊第 \(3\) 题. 这个题读起来有点费劲, 其实游戏的两方, 兔子和猎人, 都没有任何办法保证距离一定能多长或多近. 换句话说, 不管兔子和猎人如何行动, 兔子与猎人的距离是可能无限大也可能任意小. 这个问题要证明的结论就是: 不管猎人如何行动, 兔子有一个可能成功(而不是一定成功)的策略使得猎人的办法无效. 下面来证明这一点: 每一回合不管猎人如何行走, 兔子有一个行动方案, 在定位设备反馈某些点的情况下, 可能(而不是一定)使得与猎人的距离要多大有多大. 新加坡的 Jeck Lim 给出了一种漂亮的解法. Jeck Lim 很不得了, 是一个仙才哦, 他代表新加坡 5 次挂帅出征 IMO. …
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2017 第 58 届 IMO 解答 Problem 1 (South Africa) Lemma 1 当实数 \(x\geqslant6\), 则 \(x\lt(x-3)^2\). Lemma 2 若整数 \(m\) 符合 \(m \equiv 2\pmod3\), 则 \(m\) 不能是完全平方. 若数列 \(\{a_n\}\) 的某一项 \(\gt1\), …
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Day \(1\) Tuesday, July 18, 2017 Problem 1. For each integer \(a_0\gt1\), …
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这个续集只聊第 \(3\) 题. 需要的数论的基本知识, 另文写成. 以 \(A_1\) 为反演中心, 以 \(1\) 为反演幂作反演变换. 记 \(A_2\), \(A_3\), \(\dotsc\), \(A_k\) 在此反演变换下的关于 \(A_1\) 的反演点分别是 \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\). 显而易见, \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\) 在一条直线上, 并且这些点在此直线上的排列就是如此次序, 因此, \begin{equation}B_2B_3+B_3B_4+\dotsb+B_{k-1}B_k=B_2B_k.\end{equation} 既然 \(\triangle A_1B_iB_{i+1}\sim \triangle A_1A_{i+1}A_i\), \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \(\triangle A_1B_2B_k\sim \triangle A_1A_kA_2\), 于是 …
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2016 第 57 届 IMO 解答 Problem 1 (The Kingdom Of Belgium) 注意 \(\triangle FAB\), \(\triangle DAC\), \(\triangle EAD\) 是顶角相等的等腰三角形, 即 \[\angle FBA=\angle FAB=\angle DAC=\angle DCA= \angle EAD=\angle EDA.\] 既然 \(\triangle FAB\sim \triangle …
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Day \(1\) Monday, July 11, 2016 Problem 1. Triangle \(BCF\) has …
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第一篇文章有 Problem 3 的几个证明. 第三个证明利用了调和四边形的一些很基本的性质. 第五个证明, \(M\) 是三角形 \(HYK\) 的外接圆的切线的交点以及 \(F\) 是 \(HY\) 的中点这两件事导出 \[\angle MKH=\angle YKF.\] 这是需要证明的, 并不容易. 不过, 这个结果已经很流行了. 田廷彦在他的”圆”的第三讲有一个例题对锐角三角形的情形给出了两个证明, 但都不能让人满意, 因为都用到了三角函数. 虽然这些知识不是参加竞赛必须掌握, 但如果参赛者想在考场上取得好的分数, 应该不仅仅是记得一些常用的结论, 还要对证明也很熟练.
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