本届比赛预赛已经在 2012 年 10 月 27 日(星期六)上午 9:00-11:30 举行, 决赛将于 2013 年 3 月的第三周周六上午在电子科技大学(成都)举办.
2012年全国大学生数学竞赛数学类
1. (15 分) 设 \(\Gamma\) 为椭圆抛物面 \(z=3x^2+4y^2+1\). 从原点作 \(\Gamma\) 的切锥面, 求切锥面方程.
2. (15 分) 设 \(\Gamma\) 为抛物线, \(P\) 是与焦点位于抛物线同侧的一点. 过 \(P\) 的直线 \(L\) 与 \(\Gamma\) 围成的有界区域的面积记为 \(A(L)\). 证明: \(A(L)\) 取最小值当且仅当 \(P\) 恰为 \(L\) 被 \(\Gamma\) 所截出的线段的中点.
3. (10 分) 设 \(f\in C^1[0,+\infty)\), \(f(0)>0\), 任意\(x\in[0,+\infty)\)有\(f^\prime(x)\geqslant0\). 如果 \(\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm dx}{f(x)+f^\prime(x)}<+\infty\), 求证: \(\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm dx}{f(x)}<+\infty\).
4. (10 分) 设 \(\textbf A\), \(\textbf B\), \(\textbf C\) 均为实 \(n\) 阶正定矩阵, \(P(t)=\textbf At^2+\textbf Bt+\textbf C\), \(f(t)=\det P(t)\), 其中 \(t\) 为未定元, \(\det P(t)\) 表示 \(P(t)\) 的行列式. 若 \(\lambda\) 为 \(f(t)\) 的根, 证明: \(\Re(\lambda)<0\), 这里 \(\Re(\lambda)\) 表示 \(\lambda\) 的实部.
5. (10 分) \(\dfrac{(1+x)^n}{(1-x)^3}=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}a_ix^i\), \(|x|<1\), \(n\) 是正整数. 求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i\).
6. (15 分) 设 \(f:[0,1]\to\Bbb R\) 可微, 其中 \(\Bbb R\) 为实数集, 已知 \(f(0)=f(1)\), \(\int_0^1f(x)\mathrm dx=0\), 且对任意 \(x\in[0,1]\), 有 \(f^\prime(x)\not =1\). 求证: 对任意正整数 \(n\), 有 \(|\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(\dfrac kn)|<\dfrac12\).
7. (25 分) 已知实矩阵 \(\mathbf A=\pmatrix{2&2\cr2&a}\), \(\mathbf B=\pmatrix{4&b\cr3&1}\). 证明:
(1) 矩阵方程 \(\mathbf{AX}=\mathbf B\) 有解但 \(\mathbf{BY}=\mathbf A\) 无解的充要条件是 \(a\not=2, b=\dfrac43\);
(2) \(\mathbf A\) 相似于 \(\mathbf B\) 的充要条件是 \(a=3, b=\dfrac23\);
(3) \(\mathbf A\) 合同于 \(\mathbf B\) 的充要条件是 \(a<2, b=3\).