Solutions to the 80th William Lowell Putnam Mathematical Competition
Jul 052020
Dec 252019
北京时间 2019 年 12 月 22 日下午数学基础考试 2
说明: 设 \(\varphi\) 是域 \(F\) 上的线性空间 \(U\) 到 \(V\) 的线性映射, \(\ker \varphi=\{\alpha\in U|\varphi(\alpha)=0 \} \), \(\Im\varphi=\{\varphi(\alpha)|\alpha\in U \} \).
1. 设 \(V_0=\{0\}\), \(V_1\), \(V_2\), \(\dotsc\), \(V_n\), \(V_{n+1}=\{0\}\) 都是域 \(F\) 上的有限维线性空间, 设 \(\varphi_i\) 是 \(V_i\) 到 \(V_{i+1}\) 的线性映射
\[V_0\stackrel{\varphi_0}{\longrightarrow} V_1\stackrel{\varphi_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\longrightarrow} V_n\stackrel{\varphi_n}{\longrightarrow} V_{n+1},\]
并且 \(\Im \varphi_i=\ker \varphi_{i+1}\), \(i=0, 1, 2, \dotsc, n-1\). 证明
\[\sum_{k=1}^n (-1)^k \dim V_k=0.\]
2. \(k\geqslant1\). 证明对任意 \(k+1\) 个复数 \(c_0\), \(c_1\), \(c_2\), \(\dotsc\), \(c_k\), 存在唯一的一个不超过 \(k\) 次的复系数多项式 \(p(x)\), 使
\[p(0)=c_0, p(1)=c_1, p(2)=c_2, \dotsc, p(k)=c_k. \]
3. 设 \(\eta\) 是 \(n\) 维欧式空间 \(V\) 内的一个单位向量, 定义 \(V\) 内一个线性变换如下
\[\boldsymbol A\alpha=\alpha-2(\eta, \alpha)\eta\qquad (\alpha\in V).\]
(1) 证明 \(\boldsymbol A\) 是第二类的正交变换(镜面反射);
(2) 证明 \(n\) 维欧式空间中任一正交变换都可以写成一系列镜面反射的乘积.
4. \(A\) 是一个秩为 \(k\) 的 \(n\) 阶实对称矩阵. 证明 \(A\) 有不为 \(0\) 的 \(k\) 阶主子式, 并且
\(A\) 的所有不是 \(0\) 的 \(k\) 阶主子式都同号.
5. \(\boldsymbol A\) 是复数域上的 \(n\) 维线性空间上的线性变换, \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\dotsc\), \(\lambda_m\) 是 \(\boldsymbol A\) 的全部的互不相同的特征值.
证明 \(\boldsymbol A\) 可对角化的充分必要条件是对每个 \(\lambda_k\), 有 \(\dim(\Im(\lambda_k id-\boldsymbol A))=\dim(\Im(\lambda_k id-\boldsymbol A)^2)\), 这里 \(id\) 是恒等变换.
6. \(n\geqslant2\). \(A\) 是复数域上的 \(n\) 阶矩阵, \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\dotsc\), \(\lambda_m\) 是 \( A\) 的全部的互不相同的特征值. 对每个 \(\lambda_k\),
设 \(\alpha_{k1}\), \(\alpha_{k2}\), \(\dotsc\), \(\alpha_{kt_k}\) 是属于 \(\lambda_k\) 的特征子空间的一组基. 求 \(A\) 的伴随矩阵的全部的特征值和对应的全部特征向量.
7. \(\boldsymbol u\), \(\boldsymbol v\), \(\boldsymbol w\) 是三个向量, \(|\boldsymbol u| = |\boldsymbol v|= |\boldsymbol w| =1\), \(\boldsymbol u\cdot \boldsymbol v= \boldsymbol v\cdot \boldsymbol w= \boldsymbol w\cdot \boldsymbol u\). 设有向量 \(\boldsymbol x\) 及实数 \(a\), \(b\), \(c\) 使得
\(\boldsymbol x\times \boldsymbol u= a \boldsymbol u+b\boldsymbol v+c \boldsymbol w\), \(\boldsymbol x\times\boldsymbol v= a \boldsymbol v+b\boldsymbol w+c \boldsymbol u\). 证明
\[\boldsymbol x\times\boldsymbol w= a \boldsymbol w+b\boldsymbol u+c \boldsymbol v.\]
8. 平面直角坐标系的一个曲线上有一个曲线 \(\pi\) 方程是 \(x^2+2y^2+6xy+8x+10y+6=0\).
(1) 证明这个曲线是双曲线；
(2) 求这个曲线的长短轴方程和长短轴长, 并且指出哪个轴与 \(\pi\) 相交.
9. 在平面直角坐标系的一个椭圆方程是 \(x^2+8y^2+4xy+6x+20y+4=0\). 求这个椭圆的内接三角形(三个顶点都在椭圆上的三角形)的面积的最大值.
与考场的试卷原始试题可能的误差: 题 7 从 “设有向量” 之后的三个等式不敢断定是完全正确, 后面的向量 \(\boldsymbol x\) 及实数 \(a\), \(b\), \(c\)是这样的,
只是不绝对保证三个等式的正确无误. 结论也可能是 \(\boldsymbol x\cdot \boldsymbol u= a \boldsymbol u\cdot \boldsymbol v+b\boldsymbol v\cdot \boldsymbol w+c \boldsymbol w\cdot \boldsymbol u\), \(\boldsymbol x\cdot \boldsymbol v= a \boldsymbol v\cdot \boldsymbol w+b\boldsymbol w\cdot \boldsymbol u+c \boldsymbol u\cdot \boldsymbol v\). 证明
\[\boldsymbol x\cdot \boldsymbol w= a \boldsymbol w\cdot \boldsymbol u+b\boldsymbol u\cdot \boldsymbol v+c \boldsymbol v\cdot \boldsymbol w.\]
Dec 242019
北京时间 2019 年 12 月 22 日上午数学基础考试 1
1. 设 \(f(x)\) 是闭区间 \([a, b]\) 的上半连续函数, 即任意 \(x_0\in[a, b]\), 有 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\leqslant f(x_0)\)(在区间端点, 只考虑单侧极限).
请问: \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 达到最大值? 证明或者举出反例.
2. 函数 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x\cos^2x}\) 在区间 \([0, +\infty)\)否一致连续?
3. 函数 \(f(x)\) 是定义在区间 \([1, +\infty)\) 上的连续函数, \(f(x)\geqslant 0\), 并且 \(\forall x, y\in [1, +\infty)\), 有
\[f(x+y)\leqslant f(x)+f(y).\]
请问: \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) 是否一定存在? 证明你的结论或给出反例.
4. 函数 \(f(x)\) 在区间 \([0, 1]\) 连续, \(f(x)\gt 0\) 并且单调递增. 记
\[s=\frac{\int_0^1xf(x) \mathrm dx}{\int_0^1f(x)\mathrm dx}.\]
(1) 证明 \(s\geqslant \frac12\); (2) 比较 \(\int_0^sf(x)\mathrm dx\) 和 \(\int_s^1 f(x)\mathrm dx\) 的大小(可以利用几何或物理直观).
5. 已知 \(\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}\mathrm dx=\dfrac\pi2\). 计算
\[\int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\mathrm dx.\]
6. 设曲面 \(S\) 是 \(z=f(x, y)\), 其中 \(f(x, y) ((x, y)\in D)\) 是二阶连续可微函数, 而 \(D\) 是由 \(x=\alpha(t), y=\beta(t), t\in[a, b]\) 围成的
简单闭曲线. \(R(x, y, z)\) 是二阶连续可微函数. 假定平面的 Green公式成立, 证明如下特殊形式的 Stokes 公式
\[\oint_\Gamma R(x, y, z)\mathrm dz =\iint_S \frac{\partial R}{\partial y}\mathrm dy\mathrm dz – \frac{\partial R}{\partial x}\mathrm dx\mathrm dx \]
7. \(f(x, y)\) 在全平面二阶连续可微, \(f(0, 0)=0\), 并且
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=x^2+y^2.\]
设 \(C_r\) 是以原点为心, 半径为 \(r\) 的圆周, 计算
\[\int_{C_r} f(x, y)\mathrm ds,\]
这里 \(ds\) 是沿 \(C_r\) 的第一型曲线积分.
8. 设 \(0\lt p\lt 1\). \(f(x)=\cos px\), \(x\in[-\pi, \pi]\), 并且 \(f(x) \) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数.
(1) 计算 \(f(x) \) 的 Fourier Series; (2) 证明 \(B(x, 1-x)=\dfrac{\pi}{\sin\pi x}\), 这里 \(B\) 是 Beta 函数.
9. 对满足 \(1\lt q\lt p\) 的正整数 \(q\), \(p\), 定义如下的三角多项式
\[T_{p, q}(x)=\frac{\cos (p-1)x}{1}+\frac{\cos (p-2)x}{2}+\dotsb+\frac{\cos (p-q)x}{q}- \frac{\cos (p+1)x}{1}-\frac{\cos (p+2)x}{2}-\dotsb-\frac{\cos (p+q)x}{q}. \]
对 \(k\geqslant 1\), 取正整数 \(p_k\), \(q_k\), 及 \(a_k\gt0\), 使
\[p_k+q_k\lt p_{k+1}-q_{k+1}, \sum_{k=1}^\infty a_k\lt+\infty, \sum_{k=1}^\infty a_k\ln q_k=+\infty.\]
(这样的 \(p_k\), \(q_k\), \(a_k\) 是存在的, 比如 \(q_k=2^{k^3}, p_k=2^{k^3+1}, a_k=\frac1{k^2}\) ). (1) 证明 \(f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k T_{p_k, q_k}(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续函数;
(2) \(f(x)\) 的 Fourier Series 在 \(x=0\) 处是否收敛? 证明你的结论.
与考场的试卷原始试题可能的误差: 题 6 的题设条件和要证明的结论可能都有那么一点出入, 题 7 只是要证明的结论可能不准确;
而考卷上的题 9 的条件 \( \sum\limits_{k=1}^\infty a_k\ln q_k\) 有可能是 \( \sum\limits_{k=1}^\infty a_k\ln p_k\), 或者 \(\lt+\infty\), 条件 \(p_k+q_k\lt p_{k+1}-q_{k+1}\) 可能是 \(q_k+q_{k+1}\lt p_{k+1}-p_k\)
Dec 272018
北京时间 2018 年 12 月 23 日下午初试的高等代数与解析几何
\(\Bbb R\) 表示实数域; \(\Bbb C\) 表示复数域; \( A^T\) 表示 \(A\) 的转置; \(E_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 \(1\) 其余为 \(0\) 的矩阵.
1. \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) 是 \(\Bbb R^n\) 上线性无关的列向量组,\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\) 是 \(\Bbb R^m\) 上线性无关的列向量组. 若有实数 \(c_{ij}\) 使得
\[\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^tc_{ij}\alpha_i\beta_j^{T}=\textbf{0}.\]
证明系数 \(c_{ij}\) 全为 \(0\).
2.实数域上的 \(3\) 阶方阵 \(A\) 满足 \(AA^T=A^TA\), 且 \(A\neq A^T\).
(1) 证明存在正交矩阵 \(P\) 使得
\[P^TAP=
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & c \\
0 & -c & b \\
\end{pmatrix},\]
其中 \(a\), \(b\), \(c\) 都是实数.
(2) 若 \(A=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_{ij}E_{ij}\), \(AA^T=A^TA=I_3\), 且 \(|A|=1\).证明 \(1\) 是 \(A\) 的一个特征值, 且求属于特征值\(1\) 的特征向量.
3. \(A\) 是复数域上的一个 \(n\) 阶方阵, \(A\) 的特征值为\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\). 定义 \(M_n(\Bbb C)\) 上的变换 \(T\) 为
\[\begin{split}T\colon M_n(\Bbb C)&\longrightarrow M_n(\Bbb C)\\
B&\longmapsto AB-BA , \forall B\in M_n(\Bbb C)\end{split}\]
(1) 求变换 \(T\) 的特征值;
(2) 若 \(A\) 可对角化, 证明 \(T\) 也可对角化.
4. \(A\) 为 \(n\) 级实对称矩阵,令
\[S=\{X|X^TAX=0, X\in \Bbb R^n.\}\]
(1)求 \(S\) 为 \(\Bbb R^n\) 中的一个子空间的充要条件并证明;
(2)若 \(S\) 为 \(\Bbb R^n\) 中的一个子空间, 求 \(\dim S\).
5. 给定任意实数 \(\varepsilon\gt0\), 证明对任意的 \(n\) 阶实矩阵 \(A\), 存在一个 \(n\) 阶对角矩阵 \(D\), 每个对角元为 \(\varepsilon\) 或 \(-\varepsilon\) 中的一个,使得
\[|A+D|\ne 0.\]
6. 给了空间中两条异面直线的方程(不记得了),求两条直线的距离和公垂线方程.
7. 在空间中有三条直线两两异面,且不平行于同一个平面, 证明空间中与这三条直线都共面的直线集是一个单叶双曲面.
8. 证明平面与双曲抛物面的交线不可能是一个椭圆.
Dec 252018
北京时间 2018 年 12 月 23 日上午数学基础考试1
1. 讨论数列 \(a_n=\sqrt[n]{1+ \sqrt[n]{2+ \sqrt[n]{3+\dotsm+ \sqrt[n]n } } }\) (\(n\) 个根号) 的敛散性.
2. 设 \(f(x)\in C[a,b]\) 且 \(f(a)=f(b)\), 证明: \(\exists x_n\), \(y_n\in[a,b]\)s.t. \(\lim\limits_{n\to\infty}\big(x_n-y_n\big)=0\) 且 \(f(x_n)=f(y_n)\), \(\forall n\in \Bbb N\).
3. 证明 \(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_n^k\frac1{k+m+1}=
\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kC_m^k\frac1{k+n+1} \), 其中 \(m\), \(n\) 是正整数.
4. 无穷乘积 \(\prod\limits_{n=1}^\infty(1+a_n)\) 收敛, 是否级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛? 若是, 给出证明; 若不是, 举出例子.
5. 设 \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty x^n\ln x \), 计算 \(\int_0^1 f(x) \mathrm dx\).
6. 设函数 \(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 二阶可导, 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) 存在, \(f^{\prime\prime}(x)\) 有界. 证明: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=0\).
7. 设数列 \(\{x_n\}\) 有界, \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)=0\), 且 \(\varliminf\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=l\), \(\varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=L\)(\(l\lt L\)). 证明: \([l, L]\) 中的每一个点都是数列 \(\{x_n\}\) 的某一子列的极限.
8. 对 \(p\gt0\) 讨论级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin\frac{n\pi}4}{n^p+\sin\frac{n\pi}4}\) 的绝对收敛性和收敛性.
9. 求函数 \(f(x)=\dfrac{2x\sin\theta}{1-2x\cos\theta+x^2}\) 在 \(x=0\) 点的 Taylor 展式, 其中 \(\theta\in\Bbb R\) 是常数, 并计算积分 \(\int_0^\pi\ln(1-2x\cos\theta+x^2) \mathrm d\theta\).
10. 证明 \(\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x} \mathrm dx=\dfrac\pi2\), 并计算 \(\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin^2 yx}{x^2} \mathrm dx \).
Feb 122018
北京时间 2017 年 12 月 24 日上午的数学分析
下面的试题, 除了第 3 与第 5 题与实际考卷稍有出入, 其余的题与考场上卷子的用词句子甚至排版都是完全一模一样的!
1. 证明如下极限:
(1) \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(1+\int_0^1\dfrac{\sin^n x}{x^n}\;dx\Big)^n=+\infty\);
(2) \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\int_0^1\dfrac{\sin x^n}{x^n}\;dx\Big)^n=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}e^{\frac{(-1)^k}{2k(2k+1)!}}\);
(3) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln\Big(1+\dfrac{k^2-k}{n^2}\Big)=\ln 2-2+\dfrac\pi2\).
2. \(f\in C(0,1)\), \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\alpha\lt\beta=\dfrac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}\), 这里 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\in(0, 1)\). 证明: 对任意 \(\lambda\in(\alpha, \beta)\), 存在 \(x_5\), \(x_6\in(0, 1)\), 使得 \(\lambda=\dfrac{f(x_6)-f(x_5)}{x_6-x_5}\).
3. 设 \(\gamma\) 是联结 \(\Bbb R^3\) 中两点 \(A\), \(B\) 的长度为 \(L\) 的光滑曲线, \(U\) 是包含 \(\gamma\) 的 \(\Bbb R^3\) 中的开集, \(f\) 在 \(U\) 中的两个偏导数存在且在 \(\gamma\) 上连续. 梯度 \(\nabla f\) 的长度在 \(\gamma\) 上的界为 \(M\). 证明:
\[|f(A)-f(B)|\leqslant ML.\]
4. \(f\) 在 \((0, 0)\) 点局部三阶连续可微, \(D_R\) 表示圆盘: \(x^2+y^2\leqslant R^2\). 计算:
\[\lim_{R\to0^+}\dfrac1{R^4}\iint_{D_R}\Big(f(x, y)-f(0, 0)\Big) dxdy.\]
5. \(\varphi(x)\) 在 \(0\) 处可导, \(\varphi(0)=0\), \(f(x,y)\) 在 \((0,0)\) 点局部 \(2\) 阶连续可微, \(f\) 的两个偏导数在 \((x,\varphi(x) )\) 上恒为 \(0\). \(\big(\partial_{ij}f(0, 0)\big)_{2\times2}\) 为半正定非 \(0\) 阵. 证明 \(f\) 在 \((0, 0)\) 为取极小值.
6. 证明: \(e^{-x}+\cos2x+x\sin x=0\)
在区间 \(\big((2n-1)\pi, (2n+1)\pi\big)\) 恰有两个根 \(x_{2n-1}\lt x_{2n}\),
\(\forall n=1\), \(2\), \(3\), \(\dotsc\).
证明如下极限存在并求之: \(\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^{n-1}n(x_n-n\pi)\).
7. 证明: \(\lim\limits_{x\to0}\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos nx}n=+\infty\).
8. \(\forall x\in[1,+\infty)\), \(f(x)\gt0\), \(f^{\prime\prime}(x)\leqslant0\), 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). 证明如下极限存在并求之:
\[\lim_{s\to0+}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{f^s(n)}.\]
Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 2
Dec 252016
北京时间 25 日下午举行的硕士研究生初试的高等代数与解析几何
Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 2
试题来自博士论坛
Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1
Dec 252016
北京时间 25 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析
1.(10分) 证明: \(\lim\limits_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.\)
2.(10分) 证明: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }\) 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 \(\alpha \gt \frac12\).
3.(10分) 设\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 证明 \(\lim\limits_{s\rightarrow 0+}\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\).
4.(10分) 称 \(\gamma (t)=(x(t),y(t))\)(\(t\in \) 属于某个区间\(I\)) 是 \(\Bbb R^2\)上\(C^1\) 向量场 \((P(x,y),Q(x,y))\) 的积分曲线, 若 \({x}'(t)=P(\gamma (t))\), \({y}'(t)=Q(\gamma (t)),\forall t\in I\), 设 \(P_x+Q_y\) 在 \(\Bbb R^2\) 上处处非零, 证明向量场 \((P,Q)\) 的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).
5.(20分) 设 \(x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}, n=1,2,\dotsc \). 证明: 当 \(x\rightarrow \infty \) 时, \(x_n-\frac{\pi }{2}=o(\frac{1}{n^n})\).
6.(20分) 设 \(f\in C[0,1],\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha \lt \beta =\lim\limits_{x\rightarrow 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\). 证明: \(\forall \lambda \in (\alpha ,\beta),\exists x_1,x_2\in [0,1]\), 使得 \( \lambda =\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\).
7. (20分) 设 \(f\) 是 \((0,+\infty)\) 上的凸(或凹)函数且 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在有限, 则 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf'(x)=0\) (仅在 \(f\) 可导的点考虑极限过程).
8. (20分)设 \(\phi\in C^3(\mathbb{R}^3)\), \(\phi\) 及其各个偏导数 \(\partial_i\phi(i=1,2,3)\) 在点 \(x_0\in \mathbb{R}^3\) 处取值都是 \(0\). \(x_0\) 点的 \(\delta\) 邻域记为 \(U_\delta(\delta>0)\). 如果 \(\left(\partial_{ij}^2\phi(X_0)\right)_{3\times 3}\) 是严格正定的, 则当 \(\delta\) 充分小时, 证明如下极限存在并求之:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } t^{\frac32}\iiint_{{U _\delta }} {{e^{ – t\phi\left( {x_1,x_2,x_3} \right)}}\,dx_1dx_2dx_3} .\]
9. (30分) 将\((0,\pi)\)上常值函数 \(f(x)=1\) 进行周期 \(2\pi\) 奇延拓并展为正弦级数:
\[f(x)\sim \frac4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n-1}\sin (2n-1)x.\]
该 Fourier 级数的前\(n\)项和记为\(S_n(x)\), 则 \(\displaystyle \forall x\in (0,\pi), S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin 2nt}{\sin t}dt\), 且 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n(x)=1\). 证明 \(S_n(x)\) 的最大值点是 \(\displaystyle \frac\pi{2n}\) 且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\left(\frac\pi{2n}\right)=\frac 2\pi \int_0^\pi\frac{\sin t}t dt\).
Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 1