college mathematics competition

北京时间 2019 年 12 月 22 日下午数学基础考试 2 说明: 设 \(\varphi\) 是域 \(F\) 上的线性空间 \(U\) 到 \(V\) 的线性映射, \(\ker  \varphi=\{\alpha\in U|\varphi(\alpha)=0 \} \), \(\Im\varphi=\{\varphi(\alpha)|\alpha\in U \} \). 1. 设 \(V_0=\{0\}\), …

北京时间 2019 年 12 月 22 日上午数学基础考试 1 1. 设 \(f(x)\) 是闭区间 \([a, b]\) 的上半连续函数, 即任意 \(x_0\in[a, b]\), 有 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\leqslant f(x_0)\)(在区间端点, 只考虑单侧极限). 请问: \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 达到最大值? 证明或者举出反例. …

北京时间 2018 年 12 月 23 日下午初试的高等代数与解析几何 \(\Bbb R\) 表示实数域; \(\Bbb C\) 表示复数域; \( A^T\) 表示 \(A\) 的转置; \(E_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 \(1\) 其余为 \(0\) 的矩阵. 1. \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) 是 \(\Bbb …

北京时间 2018 年 12 月 23 日上午数学基础考试1 1. 讨论数列 \(a_n=\sqrt[n]{1+ \sqrt[n]{2+ \sqrt[n]{3+\dotsm+ \sqrt[n]n } } }\) (\(n\) 个根号) 的敛散性. 2. 设 \(f(x)\in C[a,b]\) 且 \(f(a)=f(b)\), 证明: \(\exists x_n\), \(y_n\in[a,b]\)s.t. \(\lim\limits_{n\to\infty}\big(x_n-y_n\big)=0\) …

北京时间 2017 年 12 月 24 日上午的数学分析 下面的试题, 除了第 3 与第 5 题与实际考卷稍有出入, 其余的题与考场上卷子的用词句子甚至排版都是完全一模一样的! 1. 证明如下极限: (1)  \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(1+\int_0^1\dfrac{\sin^n x}{x^n}\;dx\Big)^n=+\infty\); (2)  \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\int_0^1\dfrac{\sin x^n}{x^n}\;dx\Big)^n=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}e^{\frac{(-1)^k}{2k(2k+1)!}}\); (3) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln\Big(1+\dfrac{k^2-k}{n^2}\Big)=\ln 2-2+\dfrac\pi2\). 2. \(f\in C(0,1)\), \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\alpha\lt\beta=\dfrac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}\), 这里 …

北京时间 25 日下午举行的硕士研究生初试的高等代数与解析几何 Peking university 2017 mathematics postgraduate entrance examination–Mathematics Basic examination 2 试题来自博士论坛

北京时间 25 日上午举行的硕士研究生初试的数学分析 1.(10分) 证明: \(\lim\limits_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.\) 2.(10分) 证明: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }\) 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 \(\alpha \gt \frac12\). 3.(10分) 设\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛. 证明 \(\lim\limits_{s\rightarrow 0+}\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\). 4.(10分) 称 \(\gamma (t)=(x(t),y(t))\)(\(t\in …