2014 年中国国家集训队附加测试

2014 年 3 月 19 日   18:15-21:15

1. 如图, 圆 \(O\) 为 \(\triangle ABC\) 的外接圆, \(D\) 为 \(\widehat{BAC}\) 的中点, \(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心, 延长 \(DI\) 分别交 \(BC\) 和圆 \(O\) 于 \(E\) 和 \(F\), 过点 \(E\) 作 \(EP\parallel AI\) 交 \(AF\) 于 \(P\).
证明: \(IP\perp AI\).

2014 China IMO team additional test problem 1

2. 给定正整数 \(n\geqslant 3\), 求最大的实数 \(\lambda\), 只要正数 \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\) 满足

\[\sum_{i=1}^n a_i^2\lt\lambda\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2,\]

那么 \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\) 中任意 \(3\)个数均可作为某个三角形的三边长.

3. 给定一个凸多边形 \(F\), 考虑所有与 \(F\) 正向位似且比 \(F\) 小的图形. 设 \(n(F)\) 是用这样的图形 (允许平移, 不允许旋转) 覆盖住 \(F\) 所需的图形数目的最小值. 求 \(n(F)\) 的值.

4. 试求所有的正整数 \(n\), 使得存在正整数 \(a_1 \lt a_2 \lt \dotsb \lt a_n\) 满足: \(a_i+a_j\) (\(1\leqslant i \lt j \leqslant n\)) 互不相同, 且在模 \(4\) 意义下各余数出现的次数相同.