第 30 届中国数学奥林匹克

重庆

第一天

(2014 年 12 月 20 日    8:00–12:30)

1.  给定实数 \(r\in(0,1)\). 证明: 若 \(n\) 个复数 \(z_1\), \(z_2\), \(\dotsc\), \(z_n\) 满足 \(|z_k-1|\leq r\)(\(k=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(n\)), 则 \(|z_1+z_2+\dotsb+z_n|\cdot\bigg|\dfrac1{z_1}+\dfrac1{z_2}+\dotsb+\dfrac1{z_n}\bigg|\geq n^2(1-r^2)\).

2.  如图, 设 \(A\), \(B\), \(D\), \(E\), \(F\), \(C\) 依次是一个圆上的六个点, 满足 \(AB=AC\). 直线 \(AD\) 与 \(BE\) 交于点 \(P\), 直线 \(AF\) 与 \(CE\) 交于点 \(R\), 直线 \(BF\) 与 \(CD\) 交于点 \(Q\), 直线 \(AD\) 与 \(BF\) 交于点 \(S\), 直线 \(AF\) 与 \(CD\) 交于点 \(T\). 点 \(K\) 在线段 \(ST\) 上, 使得 \(\angle SKQ=\angle ACE\). 求证: \(\dfrac{SK}{KT}=\dfrac{PQ}{QR}\).

CMO 2015 Problem 2

3.  给定整数 \(n\geq5\). 求最小的整数 \(m\), 使得存在两个由整数构成的集合 \(A\), \(B\), 同时满足下列条件:
(1) \(|A|=n\), \(|B|=m\), 且 \(A\subseteq B\);
(2) 对 \(B\) 中任意两个不同元素 \(x\), \(y\) 有: \(x+y\in B\) 当且仅当 \(x\), \(y\in A\).

第二天

(2014 年 12 月 21 日    8:00–12:30)

4.  求具有下述性质的所有整数 \(k\): 存在无穷多个正整数 \(n\), 使得 \(n+k\) 不整除 \(C_{2n}^n\).

5.  某次会议共有 \(30\) 人参加, 其中每个人在其余人中至多有 \(5\) 个熟人; 任意 \(5\) 个人中存在两人不是熟人. 求最大的正整数 \(k\), 使得满足上述条件的 \(30\) 个人中总存在 \(k\) 个人, 两两不是熟人.

6.  设非负整数的无穷数列 \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\) 满足: 对任意正整数 \(m\),  \(n\) 均有

\[\sum_{i=1}^{2m}a_{in}\leq m\]

证明: 存在正整数 \(k\),  \(d\) 满足 \(\sum\limits_{i=1}^{2k}a_{id}=k-2014\).