2015 China team selection test 3 day 1

第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二

第二天

2015 年 3 月 24 日上午 8:00-12:30

4. 给定正整数 \(n\geq2\), 设 \(x_1\), \(x_2\), \(\dotsc\), \(x_n\) 是单调不减的正数数列, 并使  \(x_1\), \(\dfrac{x_2}2\), \(\dotsc\), \(\dfrac{x_n}n\) 构成一个单调不增的数列. 求证:

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n\left(\prod\limits_{i=1}^n x_i\right)^{\frac1n}}\leq\frac{n+1}{2\sqrt[n]{n!}}.\]

5. 将 \(2015\) 阶完全图 \(G\) 的每条边染成红, 蓝两色之一. 对于 \(G\) 的顶点集 \(V\) 的任意一个二元子集 \(\{u, v\}\), 定义

\[L(u,v)=\{u,v\}\cup\{w\in V|\text{以} u, v, w \text{为顶点的三角形中恰有两条红边}\}.\]

求证：当\(\{u, v\}\) 取遍 \(V\) 的所有二元子集时, 至少可以得到 \(120\) 个不同的 \(L(u,v)\).

6. 对正整数 \(n\), 定义 \(f(n)=\tau\left(n!\right)-\tau\left((n-1)!\right)\), 这里 \(\tau\left(a\right)\) 表示正整数 \(a\) 的正约数个数. 求证: 存在无穷多个合数 \(n\), 使得对于任意正整数 \(m\lt  n\), 均有

\[f(m)\lt f(n).\]