第 33 届中国数学奥林匹克

浙江 杭州

第一天

(2017 年 11 月 15 日    8:00–12:30)

1. 设 \(A_n\) 是满足以下条件的素数 \(p\) 的集合: \(\exists a\), \(b\in\Bbb N^+\), 使得 \(\dfrac{a+b}p\), \(\dfrac{a^2+b^2}{p^2}\) 都是正整数, 且

\[\Big(\frac{a+b}p, p\Big)=\Big(\frac{a^2+b^2}{p^2}, p\Big)=1.\]

证明: (1) \(A_n\) 为有限集当且仅当 \(n\ne2\);

(2) 记 \(f(n)=|A_n|\). 若 \(k\), \(m\) 为正奇数, \(d=(k, m)\), 则

\[f(d)\leqslant  f(k)+f(m)-f(km)\leqslant 2f(d).\]

2. 设

\[T=\{(x, y, z)|1\leqslant x, y, z\leqslant n\}\]

为空间中 \(n^3\) 个点. 将其中 \((3n^2-3n+1)+k\) 个点染为红色, 且若 \(P\), \(Q\) 为红色, \(PQ\) 平行于任一条坐标轴, 则线段 \(PQ\) 上的所有整点均为红色. 求证: 至少有 \(k\) 个边长为 \(1\) 的立方体的所有顶点均为红色.

3. 设 \(n\), \(q\) 为正整数, \(q\) 不是完全立方数. 求证: 存在正实数 \(c\) 满足
\[\{nq^{\frac13}\}+\{nq^{\frac23}\}\geqslant \frac c{\sqrt n}\]

对所有正整数 \(n\) 成立, 其中 \(\{\cdot\}\) 表示其小数部分.

第 33 届中国数学奥林匹克

浙江 杭州

第二天

(2017 年 11 月 16 日    8:00–12:30)

4. 已知圆内接四边形 \(ABCD\), 其对角线 \(AC\) 与 \(BD\) 交于 \(P\) 点, \(\triangle ADP\) 的外接圆交 \(AB\) 于 \(E\), \(\triangle BCP\) 的外接圆交 \(AB\) 于 \(F\). \(\triangle ADE\) 与 \(\triangle BCF\) 的内心分别为 \(I\), \(J\), 直线 \(IJ\) 交 \(AC\) 于 \(K\).
求证: \(A\), \(I\), \(K\) , \(E\) 四点共圆.

5. 对 \(n\times n\) 的方格进行黑白染色, 若两个方格 \(a\), \(b\) 有公共顶点且同色, 则称 \(a\), \(b\) 这两个方格相邻. 若 \(a\), \(b\) 能通过一系列的方格 \(c_1\to c_2\to\dotsb\to c_k\), 其中 \(c_1=a\), \(c_2=b\), 且 \(c_i\), \(c_{i+1}\) 相邻, 则称 \(a\), \(b\) 连通. 求最大正整数 \(M\), 使得存在 \(M\) 个方格, 使得其两两不连通.

6. 给定正整数 \(n\), \(k\), \(n\gt k\), 其中 \(a_i\in (k-1, k)\), \(1\leqslant i\leqslant n\). 若正实数 \(x_1\), \(x_2\), \(\dotsc\),\(x_n\) 满足: 对任意集合 \(I\subset\{1,2,\dotsc,n\}\), \(|I|=k\) 有\(\sum\limits_{i\in I}x_i\leqslant \sum\limits_{i\in I}a_i\), 试求 \(\prod\limits_{i=1}^nx_i\) 的最大值.