Aug 202013
鸡爪定理及其逆定理
鸡爪定理其实是较为常见的. Euler 的 \(OI^2=R^2-2Rr\) 的最流行的证明, 就是先把鸡爪定理证一通. 这也算是鸡爪定理最显著的应用. 那么, 到底何谓鸡爪定理?
记 \(I\) 是 \(\triangle ABC\) 的内心, \(I_a\) 是顶点 \(A\) 所对的旁心, \(AI_a\) 交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于点 \(M\), 则 \(MI=MB=MC=MI_a\).
因 \(MI,MB,MC\) 以及 \(MI_a\) 组成的图形形似鸡爪, 故形象地称其为’鸡爪定理’.
我们的重点是把逆定理能彻底说明白.
\(\triangle ABC\) 中, \(\angle A\) 的角平分线交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于点 \(M\), 我们有以下事实:
- 线段 \(AM\) 上的一点 \(I\), 使得 \(MI=MB\), 则 \(I\) 即为 \(\triangle ABC\) 的内心;
- 线段 \(AM\) 的延长线上一点 \(I_a\), 使得 \(MI_a=MB\), 则 \(I_a\) 就是 \(\triangle ABC\) 的顶点 \(A\) 所对的旁心.
容易忽略的是: 设 \(\angle B\) 的外角平分线与 \(\triangle ABC\) 的外接圆的(除 \(B\) 之外的)另一个交点是 \(P\). 点 \(I_a\) 在直线 \(BP\) 上, \(I_a,C\) 在 \(AB\) 同侧, 并且 \(PI_a=PC\), 则 \(I_a\) 就是 \(\triangle ABC\) 的顶点 \(A\) 所对的旁心.