第四届全国大学生数学竞赛决赛试题
2013 年3 月16 日 电子科技大学(成都)
1.(15分) 设 \(A\) 为正常数, 直线 \(L\) 与双曲线 \(x^2-y^2=2(x>0)\) 所围成的面积为 \(A\). 证明:
(i) 上述 \(L\) 被双曲线 \(x^2-y^2=2(x>0)\) 所截线段的中点的轨迹为双曲线;
(ii) \(L\) 总是 (i) 中轨迹曲线的切线.
2.(15分) 设函数 \(f(x)\) 满足条件:
(1) \(-\infty<a \leqslant f(x) \leqslant b <+\infty, a\leqslant x\leqslant b \);
(2) 对任意 \(x,y\in[a,b]\) 有 \(|f(x)-f(y)|<L|x-y|\),其中 \(L\) 是大于 \(0\) 小于 \(1\) 的常数.
设 \(x_1\in[a,b]\), 令 \(x_{n+1}=\frac12[x_n+f(x_n)],n=1,2,\dotsc\).
证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x\) 存在, 且 \(f(x)=x\).
3.(15分) 设实 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的每个元素的绝对值为 \(2\), 证明: 当 \(n\geqslant 3\) 时, \(|A|\leqslant\frac13\cdot2^{n+1}n!\).
4.(15分) 设函数 \(f(x)\) 为区间 \((a,b)\) 上的可导函数. 对 \(x_0\in (a,b)\), 若存在 \(x_0\) 的领域 \(U\) 使得任意的\(x\in U\backslash\{x_0\}\) 有 \(f(x)>f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)\), 则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的凹点. 类似地, 若存在\(x_0\) 的领域 \(U\) 使得任意的\(x\in U\backslash\{x_0\}\) 有 \(f(x)<f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)\), 则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的凸点.
求证: 若 \(f(x)\) 是区间 \((a,b)\) 上的可导函数且不是一次函数, 则 \(f(x)\) 一定存在凹点或凸点.
5.(20分) 设 \(A=\pmatrix{
a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr
a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr
a_{31}&a_{32}&a_{33}\cr
}\)为实对称矩阵, \(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵, 记 \(f(x_1,x_2,x_3,x_4)=
\left|\matrix{
x_1^2&x_2&x_3&x_4\cr
-x_2&a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr
-x_3&a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr
-x_4&a_{31}&a_{32}&a_{33}
}\right|\). 若 \(A\) 的行列式为 \(-12\), \(A\) 的所有特征值的和为 \(1\), 且 \((1,0,-2)^T\) 为 \((A^*-4I)X=0\) 的一个解. 试给出一正交变换 \(\left(\matrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4}\right)=Q\left(\matrix{y_1\cr y_2\cr y_3\cr y_4}\right)\) 使得 \(f(x_1,x_2,x_3,x_4)\) 化为标准型.
6.(20分) 令 \(\Bbb R\) 为实数集, \(n\) 为给定的正整数, \(A\) 表示所有 \(n\) 次首一实系数多项式组成的集合. 证明
\[\inf_{b\in\Bbb R, c>0, P(x)\in A}\dfrac{\int_b^{b+c}|P(x)|\,\rm dx}{c^{n+1}}>0.\]