2013年3月12日第54届 IMO中国国家集训队开幕式在江苏省无锡市的江阴南菁高级中学举行. 本次集训为期二周, 通过集中培训和二次测试及一次选拔考试共 6 场考试, 从64名本届国家集训队队员中选拔出 6 位队员, 组成今年国家队.
第一天
2013年3月13日上午 8:00-12:30
1. 如图, 设四边形 \(ABCD\) 内接于圆 \(\omega\), \(AC,BD\) 交于点 \(F\), 延长线段 \(BA,CD\) 交于点 \(E\), 设 \(F\) 在 \(AB,CD\) 上的射影分别为点 \(G,H\), 点 \(M,N\) 分别为线段 \(BC,EF\) 的中点. 设 \(\triangle MNG\) 的外接圆与线段 \(BF\) 有唯一交点 \(P\), \(\triangle MNH\) 的外接圆与线段 \(CF\) 有唯一交点 \(Q\).
求证: \(PQ\parallel BC\).
China team for IMO 2013 selection test 1 problem 1
2. 对正整数 \(n\), 定义 \(f(n)=\min\limits_{m\in\Bbb Z}\left|\sqrt2-\frac mn\right|\)(\(\Bbb Z\) 为整数集). 设 \(n_i\) 是一个严格递增的正整数数列, \(C\) 是常数, 满足 \(f(n_i)<\dfrac C{n_i^2},i=1,2,\dotsc\).
证明: 存在一个实数 \(q>1\), 使得 \(n_i\geqslant q^{i-1}\) 对 \(i=1,2,\dotsc\) 成立.
3. 有编号为 \(1,2,\dotsc,n(n\geqslant3)\) 的小球, 用下述染色方式将每个小球染上红,黄,蓝,绿四种颜色之一: 先将 \(n\) 个小球任意排列在圆周上, 对顺时针方向的任意连续三个小球, 设它们的编号依次为 \(i,j,k\), 若 \(i>j>k\), 则将 \(j\) 号球染为红色; 若 \(i<j<k\), 则将 \(j\) 号球染为黄色; 若 \(i<j,k<j\), 则将 \(j\) 号球染为蓝色; 若 \(i>j,k>j\), 则将 \(j\) 号球染为绿色. \(n\) 个小球的两个染色方式称为不同的, 若至少有一个小球, 它在两个染色方式中被染上不同的颜色.
求所有的不同的染色方式数.
第二天
2013年3月14日上午 8:00-12:30
4. 设 \(n,k\) 为给定的大于 \(1\) 的整数, 非负实数 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n;c_1,c_2,\dotsc,c_n\) 满足
(1) \(a_1\geqslant a_2\geqslant\dotsb \geqslant a_n\), 且 \(a_1+ a_2+\dotsb + a_n=1\);
(2) 对 \(m=1,2,\dotsc,n\), 有 \(c_1+ c_2+\dotsb+ c_m\leqslant m^k\).
求 \(c_1a_1^k+c_2a_2^k+\dotsb+c_na_n^k\) 的最大值.
5. 如图, \(P\) 为 \(\triangle ABC\) 内一点, \(L,M,N\) 分别为边 \(BC,CA,AB\) 的中点, 且
\[PL:PM:PN=BC:CA:AB,\]
延长 \(AP,BP,CP\) 分别交 \(\triangle ABC\) 的外接圆于点 \(D,E,F\).
证明: \( \triangle APF, \triangle APE, \triangle BPF, \triangle BPD, \triangle CPD, \triangle CPE\) 的外接圆圆心六点共圆.
China team for IMO 2013 selection test 1 problem 5
6. 求一切正实数 \(r<1\), 使得存在由实数组成的集合 \(S\), 具有性质: 对任意实数 \(t\), 数 \(t,t+r,t+1\) 中有且仅有一个在 \(S\) 中; 并且数 \(t-1,t-r,t\) 中有且仅有一个在 \(S\) 中.