IMO 2016 solutions II

这个续集只聊第 \(3\) 题. 需要的数论的基本知识, 另文写成.

以 \(A_1\) 为反演中心, 以 \(1\) 为反演幂作反演变换. 记 \(A_2\), \(A_3\), \(\dotsc\), \(A_k\) 在此反演变换下的关于 \(A_1\) 的反演点分别是 \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\). 显而易见, \(B_2\), \(B_3\), \(\dotsc\), \(B_k\) 在一条直线上, 并且这些点在此直线上的排列就是如此次序,

因此,

\begin{equation}B_2B_3+B_3B_4+\dotsb+B_{k-1}B_k=B_2B_k.\end{equation}

既然 \(\triangle A_1B_iB_{i+1}\sim \triangle A_1A_{i+1}A_i\), \(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及 \(\triangle A_1B_2B_k\sim \triangle A_1A_kA_2\), 于是

\begin{equation}\frac{B_iB_{i+1}}{A_iA_{i+1}}=\frac{A_1B_{i+1}}{A_1A_i},\end{equation}

\(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及

\begin{equation}\frac{B_2B_k}{A_2A_k}=\frac{A_1B_k}{A_1A_2}.\end{equation}

设 \(a_j=A_1A_j^2\)(\(j=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k\)), \(b_i=A_iA_{i+1}^2\)(\(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\)), 以及 \(c=A_2A_k^2\), 我们可有

\begin{equation}B_iB_{i+1}=\sqrt{\frac{b_{i+1}}{a_ia_{i+1}}},\end{equation}

\(i=2\), \(3\), \(\dotsc\), \(k-1\), 以及

\begin{equation}B_2B_k=\sqrt{\frac{c}{a_2a_k}}.\end{equation}

至此, 出现在眼前的是

\begin{equation}\sum_{i=2}^{k-1}\sqrt{\frac{b_{i+1}}{a_ia_{i+1}}}=\sqrt{\frac{c}{a_2a_k}}.\end{equation}

关键的任务是说明当 \(k\gt3\) 时, 上式不可能为真: 对于 \(n=p^\alpha\)(\(p\) 为奇质数, \(\alpha\) 是正整数), 且 \(P\) 的每条对角线长度的平方不被 \(p^\alpha\) 整除.

为此, 我们需要工具.

这里正在进行的这个证明来自 oneplusone. 他的想法借用了”无平方因子正整数的算术平方根没有非平凡的线性组合”!

我们先写出他的引理:

Lemma 1  如果 \(a_1\), \(a_2\), \(\dotsc\), \(a_n\), \(b\) 都是正有理数, 且

\[\sum_{l=1}^n\sqrt{a_l}=\sqrt b,\]

那么对于任意的奇质数 \(p\), 设 \(t=\min\{v_p(a_l)\}\), 我们有 \(v_p(b)\geq t\).
这里 \(v_p(x)\) 是使得 \(x=p^s\cdot\dfrac uv\) 成立的整数 \(s\), 其中 \(u\), \(v\) 是都与 \(p\) 互质的整数.

背后的工作是单独的一篇短文 \(\{\sqrt n\}\) is linearly independent over the rationals

解答三

\(x\ne0\) 是有理数, 记 \(x=\dfrac ab\), \(a\), \(b\) 都是整数, \(b\ne0\). \(p\) 是质数, 定义 \(v_p(x)=v_p(a)-v_p(b)\).

容易看出 \(v_p(x)\) 的几个简单性质: 对于任意的都不等于 \(0\) 的有理数 \(r_1\), \(r_2\) 和 \(r\), 有

1. \(v_p(r_1r_2)=v_p(r_1)+v_p(r_2)\). 特别的, \(v_p(r)=\dfrac12v_p(r^2)\); 如果 \(q\) 是与 \(p\) 互质的整数, 则 \(v_p(rq)=v_p(r)\).
2. \(v_p\Big(\dfrac1r\Big)=-v_p(r)\); 于是有下一条
3. \(v_p\Big(\dfrac{r_1}{r_2}\Big)=v_p(r_1)-v_p(r_2)\);
4. 当 \(r_1\pm r_2\ne0\), 有 \(v_p(r_1\pm r_2)\geqslant\min\{v_p(r_1), v_p(r_2)\}\). 特别的, 如果 \(v_p(r_1)\ne v_p(r_2)\), 在 \(r_1\pm r_2\ne0\) 时, 有 \(v_p(r_1\pm r_2)=\min\{v_p(r_1), v_p(r_2)\}\).

下面的解答是贴吧网友 1a2b03c 给出的:

设 \(P\) 的顶点 \(A_1\), \(A_2\), \(\dotsc\), \(A_k\) 依逆时针落在半径为 \(R\) 的 \(\odot O\) 上. 很明显, \(O\) 是有理点(即 \(O\) 的座标都是有理数). 进而, \(R^2\) 为有理数.

记 \(OA_l\) 按逆时针旋转 \(2\alpha_l\) 到\(OA_{l+1}\)(\(0\lt2\alpha_l\lt2\pi\); \(2\alpha_l\) 可以是平角, 也可能大于平角), \(A_lA_{l+1}=2a_l\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\). 我们约定 \(A_{k+1}=A_1\).

显然 \(2\alpha_1+2\alpha_2+\dotsb+2\alpha_k=2\pi\).

不妨认为 \(n=p^\alpha\)(\(p\) 为奇质数, \(\alpha\) 是正整数).

注意对正整数 \(l\), \(1\leqslant l\leqslant k\), 显然 \(\triangle OA_lA_{l+1}\) 的有向面积 \(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}=\dfrac12R^2\sin(2\alpha_l)\). 然后, 由 \(S=\sum\limits_{l=1}^kS_{\triangle OA_lA_{l+1}}\),

\begin{equation}2S=2\sum_{l=1}^kS_{\triangle OA_lA_{l+1}}=\sum_{l=1}^kR^2\sin(2\alpha_l).\end{equation}

\(O\), \(A_l\), \(A_{l+1}\) 是有理点蕴涵 \(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}\) 为有理数.

第一种情况:  \(v_p(R^2)\geqslant\alpha\).

\(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}^2=a_l^2(R^2-a_l^2)\). 结合上面的性质一与四, 在 \(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}\ne0\)(其实就是 \(R\gt a_l\) 时),

\begin{equation}\begin{split}v_p\big(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}^2\big)&=v_p\big(a_l^2(R^2-a_l^2)\big)\\&=v_p(a_l^2)+v_p(R^2-a_l^2)\\&\geqslant\alpha+\alpha=2\alpha,\end{split}\end{equation}

这是因为

• 第二个等号是由于第一个性质;
• \(P\) 的每条边长的平方是 \(p^\alpha\) 的倍数的另一种说法 \(v_p\big(4a_l^2\big)\geqslant\alpha\). 第一个性质表明这就是 \(v_p\big(a_l^2\big)\geqslant\alpha\), 因为 \(p\) 是奇质数.
• 然后 \(v_p(R^2)\geqslant\alpha\) 与 \(v_p(a_l^2)\geqslant\alpha\), 第四个性质得出 \(v_p(R^2-a_l^2)\geqslant\alpha\).

然后, \((8)\) 表明 \(v_p\big(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}\big)\geqslant\alpha\). 换言之, 这其实也就是 \(v_p\Big(\dfrac12R^2\sin(2\alpha_l)\Big)\geqslant\alpha\), 因为显而易见的事实 \(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}=\dfrac12R^2\sin(2\alpha_l)\). 故此, \(v_p\Big(R^2\sin(2\alpha_l)\Big)\geqslant\alpha\), 这是由于第一条性质说明 \(v_p\Big(R^2\sin(2\alpha_l)\Big)=v_p\Big(\dfrac12R^2\sin(2\alpha_l)\Big)\).

然后, 由 \((7)\), 并且注意至多只有一个 \(l\), \(1\leqslant l\leqslant k\), 使得 \(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}=\dfrac12R^2\sin(2\alpha_l)=0\)(此时 \(A_lA_{l+1}\) 是 \(\odot O\) 的直径), 根据第四条性质可得

\begin{equation}v_p\big(2S\big)=v_p\Big(\sum_{l=1}^kR^2\sin(2\alpha_l)\Big)\geqslant\alpha.\end{equation}

另一种情形 \(v_p(R^2)\lt\alpha\).

记 \(\beta=v_p(R^2)\), 则 \(\beta\lt\alpha\). 既然 \(v_p\big(R^2\big)\lt\alpha\), \(P\) 不可能有任何一条边是 \(\odot O\) 的直径. 换言之, \(2\alpha_l\ne\pi\), 即 \(\alpha_l\ne\dfrac\pi2\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).

\(S_{\triangle OA_lA_{l+1}}=\dfrac{a_l^2}{\tan\alpha_l}\) 蕴涵 \(\tan\alpha_l\) 是有理数.

另一方面, \(\tan^2\alpha_l=\dfrac{a_l^2}{R^2-a_l^2}\). 性质四表明 \(v_p(R^2-a_l^2)=\beta\); 然后, 性质三证明 \(v_p\Bigg(\dfrac{a_l^2}{R^2-a_l^2}\Bigg)\geqslant\alpha-\beta\) 为真. 我们得到了\(v_p(\tan^2\alpha_l)\geqslant\alpha-\beta\). 记 \(t_l=\tan\alpha_l\), \(l=1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k\).  第一个性质表示

\begin{equation}v_p(t_l)\geqslant\frac12(\alpha-\beta).\end{equation}

由 \(1+t_l^2=1+\dfrac{a_l^2}{R^2-a_l^2}=\dfrac{R^2}{R^2-a_l^2}\) 知道

\[v_p(1+t_l^2)=\beta-\beta=0,\]

进而

\begin{equation}v_p\Big(\prod_{l=1}^k(1+t_l^2)\Big)=\sum_{l=1}^kv_p(1+t_l^2)=0.\end{equation}

令

\begin{equation}f(x)=\prod_{l=1}^k(x+t_l)=\sum_{j=0}^{k-1}s_jx^j+x^k,\end{equation}

这里 \(t_j\) 都是有理数蕴涵 \(s_j\) 亦都为有理数, \(j=0\), \(1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k-1\).

然后, \((10)\) 说明了下述事实为真

\begin{equation}v_p(s_j)\geqslant\frac12(k-j)(\alpha-\beta),\end{equation}

\(j=0\), \(1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k-1\).

由 \(\alpha_1+\alpha_2+\dotsb+\alpha_k=\pi\) 知道

\[\prod_{l=1}^k(\cos\alpha_l+i\sin\alpha_l)=\prod_{l=1}^k(\cos\alpha_l-i\sin\alpha_l)=-1,\]

\begin{equation}\prod_{l=1}^k(1+it_l)=\prod_{l=1}^k(1-it_l)\ne0,\end{equation}

这就是

\begin{equation}f(i)=(-1)^kf(-i)\ne0.\end{equation}

换句话说, 现在知道

\[\sum_{j=0}^{k-1}s_ji^j+i^k=(-1)^k\big(\sum_{j=0}^{k-1}s_j(-i)^j+(-i)^k\big),\]

即

\begin{equation}\sum_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)s_ji^j=0.\end{equation}

根据 \((7)\), \((15)\), 并注意 \(f(i)\) 与 \(f(-i)\) 都不为 \(0\), 以及熟知的 \(\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}=\sum\limits_{l=1}^k\dfrac1{x+t_l}\), 我们可有

\begin{equation}\begin{split}2S&=R^2\sum_{l=1}^k\sin(2\alpha_l)\\&=R^2\sum_{l=1}^k\frac{2t_l}{1+t_l^2}\\&=-iR^2\sum_{l=1}^k\frac{(1+it_l)-(1-it_l)}{(1+it_l)(1-it_l)}\\&=-iR^2\Bigg(\sum_{l=1}^k\frac1{1-it_l}-\sum_{l=1}^k\frac1{1+it_l}\Bigg)\\&=R^2\Bigg(\sum_{l=1}^k\frac1{i+t_l}+\sum_{l=1}^k\frac1{-i+t_l}\Bigg)\\&=R^2\Bigg(\frac{f^\prime(i)}{f(i)}+\frac{f^\prime(-i)}{f(-i)}\Bigg)\\&=R^2\frac{f^\prime(i)+(-1)^kf^\prime(-i)}{f(i)}\\&=R^2\frac{\Big(\sum\limits_{j=0}^{k-1}js_ji^{j-1}+ki^{k-1}\Big)+(-1)^k\Big(\sum\limits_{j=0}^{k-1}js_j(-i)^{j-1}+k(-i)^{k-1}\Big)}{f(i)}\\&=R^2\frac{\sum\limits_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)js_ji^{j-1}}{f(i)}\\&=-R^2\frac{\sum\limits_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}}{i^kf(i)},\end{split}\end{equation}

最后的等号是因为 \((16)\) 导出 \(\sum\limits_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1\big)s_ji^{j-1}=\big(k-1\big)\sum\limits_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)s_ji^{j-1}=0\).

当整数 \(j\) 符合 \(0\leqslant j\leqslant k-1\) 时,

•  \(k+j-1\) 为奇数, 此时 \(1+(-1)^{k+j-1}=0\), 于是 \(\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}=0\);
• \(k+j-1\) 是偶数, 此时 \(i^{k+j-1}\) 等于 \(1\) 或 \(-1\), 于是 \(\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}\) 是 \(s_j\) 与整数的乘积.

总而言之, 在 \(j=0\), \(1\), \(2\), \(\dotsc\), \(k-1\) 之时, \(\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}\) 为 \(s_j\) 与整数的乘积, 进而 \(\sum\limits_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}\) 必是有理数. \((17)\) 蕴涵 \(i^kf(i)\) 亦是有理数.

当 \(j=k-2\), 此时 \(1+(-1)^{k+j-1}=0\); 若 \(j=k-1\), 此时 \(k-1-j=0\). 也就是说, 在  \(j=k-2\) 或 \(k-1\) 之时, 必定 \(\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}=0\). 然而, 当整数 \(j\) 符合 \(0\leqslant j\leqslant k-3\) 时, \((13)\) 说明

\begin{equation}v_p(s_j)\geqslant\frac32(\alpha-\beta).\end{equation}

\(\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}\) 是 \(s_j\) 与整数的积, 因此

\begin{equation}v_p\Bigg(\sum_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}\Bigg)=v_p\Bigg(\sum_{j=0}^{k-3}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}\Bigg)\geqslant\frac32(\alpha-\beta).\end{equation}

另一方面, \((15)\) 导出

\[\big(i^kf(i)\big)^2=f(i)f(-i)=\prod_{l=1}^k(1+t_l^2).\]

记得 \((11)\),

\begin{equation}v_p\big(i^kf(i)\big)=0.\end{equation}

最后, 由 \((17)\), 利用 \((19)\), \((20)\), 得

\begin{equation}\begin{split}v_p(2S)&=v_p\Bigg(R^2\frac{\sum\limits_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}}{i^kf(i)}\Bigg)\\&=v_p(R^2)+v_p\Big(\sum_{j=0}^{k-1}\big(1+(-1)^{k+j-1}\big)\big(k-1-j\big)s_ji^{k+j-1}\Big)-v_p\big(i^kf(i)\big)\\&\geqslant\beta+\frac32(\alpha-\beta)-0\gt\alpha.\end{split}\end{equation}

综合 \((9)\), \((21)\), 我们知晓 \(v_p(2S)\geqslant\alpha\) 总是成立的. 换句话, \(2S\) 是被 \(p^\alpha\) 整除的整数.

解答四

从现在开始, 后面的解法将需要一些代数数论的知识.