收集椭圆的一些性质的几何证明.
约定, 下文的 \(F_1\), \(F_2\) 一律表示椭圆的两个焦点.
1. 从椭圆两个焦点到任意切线的距离的乘积是常数.
这论断的意思是: \(AB\) 是椭圆的长轴, \(P\) 点在椭圆上. 分别过 \(F_1\), \(F_2\) 作椭圆的过点 \(P\) 的切线的垂线, 垂足依次为 \(N\), \(M\), 则 \(F_1N\cdot F_2M\) 是常值.
geometrical properties of ellipse 1
2. \(AB\) 是椭圆的长轴, \(AC\), \(BD\) 都垂直于 \(AB\). \(P\) 是椭圆上任意一点, 椭圆的过点 \(P\) 的切线分别与 \(AC\), \(BD\) 交于点 \(C\), \(D\), 则
\[PC\cdot PD=PF_1\cdot PF_2.\]
geometrical properties of ellipse 2
下面的证明来自博士论坛的网友 morrismodel.
分别作 \(F_1\), \(F_2\) 关于 \(CD\) 的对称点 \(E_1\), \(E_2\). \(E_1\), \(P\), \(F_2\) 共线, \(E_2\), \(P\), \(F_1\) 共线.
在 \(BA\) 延长线上取一点 \(N\), 使得 \(AN=AF_1\). 然后如上图把线连起来. 则有
\[CE_1=CF_1=CN.\]
从而
\[\angle CE_1N=\angle CNE_1,\quad \angle CNF_1=\angle CF_1N.\]
因为：
\[E_1F_2=PF_1+PF_2=2a=AB=NF_2.\]
所以
\[\angle F_2E_1N=\angle F_2NE_1.\]
从而
\[\angle F_2E_1C=\angle F_2NC=\angle CF_1N.\]
从而 \(E_1\), \(C\), \(F_1\), \(F_2\) 四点共圆. 又由轴对称性, \(E_2\), \(E_1\), \(F_1\), \(F_2\) 四点共圆. 从而 \(E_2\), \(E_1\), \(C\), \(F_1\), \(F_2\) 五点共圆. 同理可证 \(E_2\), \(E_1\), \(F_1\), \(F_2\), \(D\) 五点共圆. 所以 \(E_2\), \(E_1\), \(C\), \(F_1\), \(F_2\), \(D\) 六点共圆. 所以
\[PC\cdot PD=PE_1 \cdot PF_2=PF_1 \cdot PF_2.\]
得证.