Majorization inequality and Muirhead’s inequality
定义 定义 1[离散形式] 称 \( p=(p_1,p_2,\dotsc,p_n)\)Majorization(控制) \( q=(q_1,q_2,\dotsc,q_n)\), 记为 \(p \succ …
Majorization inequality and Muirhead’s inequality Read Moreelementary mathematics
elementary mathematics
Proofs of the infinity of primes
第一个证明是哥德巴赫(Goldbach)给出的，这个证明涉及的所谓 Fermat 数总会使得人们联想起费尔马（Fermat）和高斯（Gauss）！ 我们的目的是指出任意两个 Fermat 数 \(F_n=2^{2^n}+1, n=0,1,2,\dotsc\) 互质. 下述关系式足以 \begin{equation}\prod_{i=0}^{n}F_i=F_{n+1}-2.\end{equation} 下面是Filip Saidak \(2005\) 年的证明, 发表在 “美国数学月刊” (Amer.Math.Monthly) \(2006\)年第\(113\)卷第\(10\)期\(937-938\): 任取不是 \(1\) 的自然数 \(m\), 由于 \(m\) 与 \(m+1\) 互质, 即 \((m,m+1)=1\), 于是 …
Proofs of the infinity of primes Read MoreChessboard,Knight’s tour and Hamiltonian
有这么一个问题: 国际象棋中马按照“马跳日”的规则行走. 一匹马从下图标记为 \(A\) 的点出发, 能否不重复不遗漏的走过每个点, 最后停在标记为 \(33\) 的点? 答案是: 不可以! 但是, 最后可以停在标记为 \(B\) 的点, 按照这个顺序行走, 就可以 \begin{equation}A\rightarrow1\rightarrow2\rightarrow\cdots\rightarrow43\rightarrow B.\end{equation} 这是一个 \(5\times9\) 的棋盘. 可以考虑从任意一点出发, 不重复不遗漏的走过每个点, 最后停在某个指定的点. 这个最后的落脚点当然也可以是出发点. 显然的, 这个事情, 有时候可以实现, 有时候令人遗憾. …
Chessboard,Knight’s tour and Hamiltonian Read MoreA trivial proof of Ramsey’s theorem
Ramsey’s theorem 给定正整数 \(c(\geqslant2), m(\geqslant3)\), 则存在正整数 \(N\), 当 \(n\geqslant N\) 时, 任意 \(c\) 色完全图 \(K_n\)必有单色完全子图 \(K_m\). 这两天读 terence tao的文章” What is good mathematics?”, 里面提到了这个定理. 当然, 很早以前我就学过这个组合中有名的结果, 那时我是一个高中生. 李炯生的书, “数学竞赛中的图论方法”(中国科学技术大学出版社,1992年)有一章是谈这个定理的, 还有一章谈应用. 这书证明了两色的情况, …
A trivial proof of Ramsey’s theorem Read More