Jul 042020
 

前几天传出了一个消息,英国杜伦大学的Andrew Lobb和波士顿学院的Joshua Greene这两位数学家解决了一个有109 年历史的著名难题:任何简单闭合曲线,都包含四个可以连接形成正方形的点。

然则,这则新闻有点耸人听闻。事实上,这两个数学家解决的只是一个附加了条件的 弱化版本,并没有彻底搞定 109 年前的那个原始的猜想。

我们先来看看这个猜想是一个什么问题。这个猜想(Toeplitz square peg problem)是猜测任意连续的简单闭曲线上存着四个点构成为一个正方形。

Square Peg Problem

Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明的结果是: 对于任意光滑的 Jordan 曲线和长方形 R, 可以找到曲线上的四个点使得构成的长方形相似于 R.

换言之,Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明了 对于光滑的 Jordan 曲线上存着四个点构成为一个正方形,并且不仅仅如此,他们对于光滑的 Jordan 曲线得到的结果比猜想还要好很多。

于是 ,我们可以说,109 年前的猜想还没有完全解决,依旧还是未决难题。看来必须得有全新的想法才可能突破。

关于这个猜想,数学家已经做出了很多努力。数学家们方法尝试了许多,Tao(陶哲轩)用积分的方法,而 Lobb和Greene 的 6 页的文章是(代数)拓扑风格,是建立在前人做出的贡献,尤其是 Shevchishin 的一个定理

the Klein bottle does not admit a smooth Lagrangian embedding in \(\Bbb C^2\).

之上,以辛几何为方法,取得了进展。

Andrew Lobb 和 Joshua Greene

Andrew Lobb,本科就读于牛津大学,在哈佛大学攻读博士学位,目前在杜伦大学担任助理教授,同时亦是日本冲绳科技大学的 Excellence Chair。

Joshua Greene,先后分别在芝加哥大学和普林斯顿大学攻读硕士、博士学位,现在是波士顿学院教授。

 

Mar 302013
 

On Mar 10, Ciprian Manolescu posted a preprint on ArXiv proving that the Triangulation Conjecture is false:

Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture

当然,  Ciprian Manolescu 的论证还需要经过检验, 目前还不能肯定完全正确.

Ciprian Manolescu(born December 24, 1978) is currently a Professor of Mathematics at the University of California, Los Angeles. 他曾在 IMO 取得三个满分: 1995,1996,1997. 他的学士(2001) 和博士(2004)两个学位都在 Harvard 大学完成.

 Posted by at 12:05 pm
Aug 222012
 

Thurston passed away at 8pm on August 21 in Rochester, NY.

William Paul Thurston (October 30, 1946 – August 21, 2012) was an American mathematician. 他是低维拓扑学(Low-dimensional topology)领域的先驱. 1982 年, 他因为在三维流形(3-manifolds)的工作, 而获得了菲尔兹奖(Fields Medal).

Thurston 最好的工作, 应该是他对Hyperbolization theorem的证明. 这个描述三维流形拓扑与几何结构的困难定理, 最终导致了Thurston的几何化猜想(Geometrization conjecture).

他以直觉的方式(intuitive approach)来研究数学. 他能”感觉”到三维流形, 却写不出来. 针对此种质疑, Thurston写过一篇非常值得推荐的文章 On proof and progress in mathematics.

Thurston 的名著 Three-Dimensional Geometry and Topology, Vol 1, 以直观的方式讨论几何化猜想. Vol 2 只有一些还未出版的笔记(unpublished notes), 简直是红楼未完般的恨事.

Thurston 在 mathoverflow 的账号是 Bill Thurston. 他在这里有一些有见地的问题和回答.

关于 everting the sphere

他 \(2010\) 年的 lecture on The Mystery of 3-Manifolds

66岁未满而归道山, 让人扼腕. 但几何化猜想已经完成, Thurston 应该没有遗憾. 他的离去, 是数学界的一大损失无疑.

这两个视频, 某些网友观看会有一点困难, 因之, 这里提供第二个视频的另一个地址: