Power, Simplicity and Beauty
number theory
定理 形如 \(\dfrac pq\)(\(p, q\) 都是素数)的全体有理数构成的集合在非负实数集中稠密. 令 \(0 \lt a \lt b\)， \(q\) 是一个素数. 那么，存在素数 \(p\), 使得 \(a \lt \frac pq\le b\) 当且仅当 \[\pi(bq) \gt \pi(aq),\] 这里 \(\pi\) 是著名的素数个数的函数. 由素数定理, …
\(\{\frac{p}{q}:p,q\text{ prime}\}\) is dense in the positive real numbers Read MoreFermat 的平方和定理： 素数 \(p\equiv1\pmod4\)，则 \(p\) 能表成两个整数 \( a, b\) 的平方和 \(p=a^2+b^2\). 是很精彩的定理，在堆垒数论很经典，我们很感兴趣。今天先来谈一点关于它的历史。 在历史上，最早考虑把正整数（不仅仅是素数）表示成两个正整数的平方和的可能性的问题的数学家是 Albert Girard. 他的论文发表在 1625 年。前面刚刚提到的Fermat 平方和定理有时候也称为 Girard 定理。至于 Fermat, 他在1640年12月25日给 Marin Mersenne 的一封信对这个定理给出了一个详尽的描述，同时也定出了把 \(p\) 的幂表成两个整数的平方和有多少种方法。 Albert Girard 小传 …
Fermat’s theorem on sums of two squares: History Read More作者：赵亮 问题：有哪些 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的多项式，它们在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的，而对任意素数 \(p\)，模 \(p\) 以后在 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上都是可约的？ 当时我给了回答，后来账号注销了，答案也就一并删除了。现在把我的原答案贴在这里： 我所知道的有两大类多项式： 第一类是所有的 Swinnerdon-Dyer 多项式，它们形如 \[f(x)=\prod(x\pm\sqrt{p_1}\pm\sqrt{p_2}\cdots\pm\sqrt{p_n}),\] 其中 \(p_1,\ldots,p_n\) 是互不相同的素数，乘积跑遍所有 \(2^n\) 种不同的组合。这种多项式都是不可约的整系数多项式，但是模任何素数 \(p\) 以后都分解为一次或者二次因式的乘积。 第二类来自分圆多项式，分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 是本原 \(n\) 次单位根在 \(\mathbb{Q}\) …
Cyclotomic polynomial, Swinnerton-Dyer polynomial Read More作者：赵亮 xida Hurwitz 平方和定理是有限群表示论的一个精彩应用，本文是若干年前读书时的笔记。 Hurwitz 平方和定理 我们都熟悉复数的乘法：如果 \(z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i\) 是两个复数，则 \(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)，也就是 \[(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2.\] 1748 年 Euler 发现了如下的 4 平方和等式： \[(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2.\] 其中 \[\begin{align*}&z_1=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4,\\&z_2=x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3,\\&z_3=x_1y_3+x_3y_1-x_2y_4+x_4y_2,\\&z_4=x_1y_4+x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2.\end{align*}\] 4 平方和等式说的是在 Hamilton 四元数体中范数仍然是乘性的。1848 年 Caley 发现了八元数，从而导出了类似的 8 平方和等式，当然具体写出来会很复杂，这里就按下不表了。 一般地，如果能在 \(n\) 维欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 上定义向量之间的乘法： \[\mathbb{R^n}\times\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^n}:(v,w)\rightarrow v\times w\] 使得 \(v\times w\) 对 \(v,w\) 都是线性的，而且乘积的范数等于范数的乘积：\(|v\times w|=|v|\cdot |w|\) (这里 \(|\cdot|\) 是通常的欧式范数)，则我们就得到了一个 \(n\) 平方和等式。 在接下来的 50 年里，人们一直致力于寻找可能的 16 …
Hurwitz’s theorem of sum of squares Read More7月7日，Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了: Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), …
The first non-trivial case of a conjecture of Erdős on arithmetic progressions Read More既然奇次多项式会变号, 那么设 \(d\) 次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 则 \(d\) 为偶数. 我们以后只要关注偶次多项式就行了.
Hilbert’s 17th Problem 6: History Read More齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 …
Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial Read More1971 IMO P1 Prove that the following assertion is true for \(n = 3\) and \(n = 5\), and that it is false for every other natural number \(n\gt2\): If …
Hilbert’s 17th Problem 4: The Anneli Lax-Peter Lax form Read More