​7月7日，Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了:

Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列，即 \(x+y=2z\) 的解, \(x\ne y\). 则

\[|A|\ll \frac{N}{(\log N)^{1+c}}\]

\(c\gt 0\) 是绝对常数.

Thomas F. Bloom, Olof Sisask 的这个结果改进了Roth 的一个关于整数不含三项等差数列的上界的定理。

如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列，那么 \(A\) 的阶可以有多大？

在此之前的记录是：\(A\) 的元素个数可达 \(O\Big(\frac{N}{(\log N)^{1-o(1)}}\Big)\). 这个结果可以找到三个不同的证明，这些证明在 \(o(1)\) 这一项有一点差异。这几个证明来自Sanders, Thomas F. Bloom, Olof Sisask, 还有 Schoen.

要指出的是：常数 \(c\) 是 principle effective，但是计算它需要艰巨的工作。

数学家们的期待，是 Behrend​ 提出的猜想，这个最佳的上界是

\[|A|\ll Ne^{-O((\log N)^c)}\]

接下来，说一下 Thomas F. Bloom的Olof Sisask 定理的第一个副产品：

Erdos 的著名猜想

Erdos 有一个著名的猜测是：如果 \(A\subset\Bbb N\), 且  \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\)，那么 \(A\) 包含任意长的等差数列。

由 Thomas F. Bloom, Olof Sisask  的定理，可以导出 Erdos 的这著名猜想的一个不平凡的特殊情况：

Corollary 2 如果 \(A\subset\Bbb N\), 且  \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\)，那么 \(A\) 含无穷多非平凡的三项等差数列。

Proof.  若不然，假定 \(A\subset\Bbb N\), 且 \(A\) 仅仅含有有限个非平凡的三项等差数列。于是，对于任意的 \(N\)

\[F(N)\colon=|A\cap\{1, . . . , N\}|\ll\frac{N}{(\log N)^{1+c}}+1,\]

这里的 \(c\) 是定理 1 的常数。进而

\[\sum_{n\in A\atop n\leq N}\frac1n=\frac{F(N)}{N}+\int_1^N\frac{F(t)}{t^2}\mathrm dt\ll \int_1^N\frac{1}{t(\log t)^{1+c}}\mathrm dt+1\ll1.\]

令 \(N\to\infty\), 得 \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n\) 收敛。

\(A\) 的阶的下界

最后，顺便提一下 \(A\) 的阶的下界， 1946年 Behrend的高维球面构造法给出了

\[|A|\geq Ne^{-c\sqrt{\log N } }\]