Jul 082020
 

​7月7日,Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了:

Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列,即 \(x+y=2z\) 的解, \(x\ne y\). 则

\[|A|\ll \frac{N}{(\log N)^{1+c}}\]

\(c\gt 0\) 是绝对常数.

Thomas F. Bloom, Olof Sisask 的这个结果改进了Roth 的一个关于整数不含三项等差数列的上界的定理。

如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列,那么 \(A\) 的阶可以有多大?

在此之前的记录是:\(A\) 的元素个数可达 \(O\Big(\frac{N}{(\log N)^{1-o(1)}}\Big)\). 这个结果可以找到三个不同的证明,这些证明在 \(o(1)\) 这一项有一点差异。这几个证明来自Sanders, Thomas F. Bloom, Olof Sisask, 还有 Schoen.

要指出的是:常数 \(c\) 是 principle effective,但是计算它需要艰巨的工作。

数学家们的期待,是 Behrend​ 提出的猜想,这个最佳的上界是

\[|A|\ll Ne^{-O((\log N)^c)}\]

接下来,说一下 Thomas F. Bloom的Olof Sisask 定理的第一个副产品:

Erdos 的著名猜想

Erdos 有一个著名的猜测是:如果 \(A\subset\Bbb N\), 且  \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\),那么 \(A\) 包含任意长的等差数列。

由 Thomas F. Bloom, Olof Sisask  的定理,可以导出 Erdos 的这著名猜想的一个不平凡的特殊情况:

Corollary 2 如果 \(A\subset\Bbb N\), 且  \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\),那么 \(A\) 含无穷多非平凡的三项等差数列。

Proof.  若不然,假定 \(A\subset\Bbb N\), 且 \(A\) 仅仅含有有限个非平凡的三项等差数列。于是,对于任意的 \(N\)

\[F(N)\colon=|A\cap\{1, . . . , N\}|\ll\frac{N}{(\log N)^{1+c}}+1,\]

这里的 \(c\) 是定理 1 的常数。进而

\[\sum_{n\in A\atop n\leq N}\frac1n=\frac{F(N)}{N}+\int_1^N\frac{F(t)}{t^2}\mathrm dt\ll \int_1^N\frac{1}{t(\log t)^{1+c}}\mathrm dt+1\ll1.\]

令 \(N\to\infty\), 得 \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n\) 收敛。

\(A\) 的阶的下界

最后,顺便提一下 \(A\) 的阶的下界, 1946年 Behrend的高维球面构造法给出了

\[|A|\geq Ne^{-c\sqrt{\log N } }\]

Oct 212013
 

一个月前, Springer 推出了 Ronald L. Graham, Jaroslav Nešetřil, Steve Butler 的两卷本大作 “The Mathematics of Paul Erdős” 的第二版.

早在 2002 年, Springer 曾出版过 Gabor Halasz , Laszlo Lovasz, Miklos Simonovits, Vera T. Sós 的 “Paul Erdős and His Mathematics“, 也是两卷.不过后来合并为一本 1400 页的书.

“N Is a Number: A Portrait of Paul Erdős” 是一部 57 分钟的电影. The Story of  Paul Erdős–a Wandering Mathematician Obsessed with Unsolved Problems.

影片的导演是 George Paul Csicsery, 1988-1991 制作,  capturing Erdős in various countries along with some of his numerous collaborators. It covers his unusual career, his personal life, and many of his recurring jokes and anecdotes, including that of Erdős numbers.

这电影获得两个奖项:  the Gold Apple Award (National Educational Film & Video Festival), and the Gold Plaque Award.

这里有一个 youku 的链接:

Apr 182013
 

想知道复旦学子对最近发生在自己学校的某件事怎么议论, 今天特意进复旦大学日月光华 BBS 上逛逛. 意外的, 在数学区, 看到了网友 spline 在上个月的 26 日, Paul Erdős 的诞辰100年, 发布的”纪念 Paul Erdős 诞辰 100 周年”的帖子. 这个帖子的最后, 专门指出, 用 \(\rm\TeX\) 输出 Erdős, 其正确的语法结构是这么:

  1. Erd\H{o}s  

现在特意记下来.

大家都知道的, Paul Erdős (1913.03.26-1996.09.20)是著名数学家, Wolf 奖得主, 以高产和合作的数学家多著称. 我还不清楚自己的  Erdős number 是多少, 你呢?

查了下 \(\rm\TeX\) 的书籍, 原来

  1. \H{ }  

这个命令产生重音号. 遗憾的是, 本博客暂时还不支持这个命令. 准确点说, 是 MathJax 暂不支持.

注: 至于 “某件事”, 显然指的就是那件震惊全国, 同时也拷问国人心灵, 肯定也上了很多很多国家的报纸和网站的大案: 复旦医学院在读 2010 级研究生黄洋, 疑被同寝室某同学在寝室饮水机投毒,于 2013 年 4 月 1 日因身体不适入院, 经抢救无效, 逝世在上海中山医院.