The first non-trivial case of a conjecture of Erdős on arithmetic progressions

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Jul 082020
 

​7月7日，Thomas F. Bloom, Olof Sisask 在 arXiv 上传了一篇论文 Breaking the logarithmic barrier in Roth’s theorem on arithmetic progressions( arxiv.org/abs/2007.03528), 该文的主要结果是证明了:

Theorem 1 如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列，即 \(x+y=2z\) 的解, \(x\ne y\). 则

\[|A|\ll \frac{N}{(\log N)^{1+c}}\]

\(c\gt 0\) 是绝对常数.

Thomas F. Bloom, Olof Sisask 的这个结果改进了Roth 的一个关于整数不含三项等差数列的上界的定理。

如果 \(A\subset \{1, . . . , N\}\), 且 \(A\) 不含非平凡的三项等差数列，那么 \(A\) 的阶可以有多大？

在此之前的记录是：\(A\) 的元素个数可达 \(O\Big(\frac{N}{(\log N)^{1-o(1)}}\Big)\). 这个结果可以找到三个不同的证明，这些证明在 \(o(1)\) 这一项有一点差异。这几个证明来自Sanders, Thomas F. Bloom, Olof Sisask, 还有 Schoen.

要指出的是：常数 \(c\) 是 principle effective，但是计算它需要艰巨的工作。

数学家们的期待，是 Behrend​ 提出的猜想，这个最佳的上界是

\[|A|\ll Ne^{-O((\log N)^c)}\]

接下来，说一下 Thomas F. Bloom的Olof Sisask 定理的第一个副产品：

Erdos 的著名猜想

Erdos 有一个著名的猜测是：如果 \(A\subset\Bbb N\), 且  \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\)，那么 \(A\) 包含任意长的等差数列。

由 Thomas F. Bloom, Olof Sisask  的定理，可以导出 Erdos 的这著名猜想的一个不平凡的特殊情况：

Corollary 2 如果 \(A\subset\Bbb N\), 且  \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n=\infty\)，那么 \(A\) 含无穷多非平凡的三项等差数列。

Proof.  若不然，假定 \(A\subset\Bbb N\), 且 \(A\) 仅仅含有有限个非平凡的三项等差数列。于是，对于任意的 \(N\)

\[F(N)\colon=|A\cap\{1, . . . , N\}|\ll\frac{N}{(\log N)^{1+c}}+1,\]

这里的 \(c\) 是定理 1 的常数。进而

\[\sum_{n\in A\atop n\leq N}\frac1n=\frac{F(N)}{N}+\int_1^N\frac{F(t)}{t^2}\mathrm dt\ll \int_1^N\frac{1}{t(\log t)^{1+c}}\mathrm dt+1\ll1.\]

令 \(N\to\infty\), 得 \(\sum\limits_{n\in A}\frac1n\) 收敛。

\(A\) 的阶的下界

最后，顺便提一下 \(A\) 的阶的下界， 1946年 Behrend的高维球面构造法给出了

\[|A|\geq Ne^{-c\sqrt{\log N } }\]

Toeplitz square peg problem hasn’t been solved yet

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Jul 042020
 

前几天传出了一个消息，英国杜伦大学的Andrew Lobb和波士顿学院的Joshua Greene这两位数学家解决了一个有109 年历史的著名难题：任何简单闭合曲线，都包含四个可以连接形成正方形的点。

然则，这则新闻有点耸人听闻。事实上，这两个数学家解决的只是一个附加了条件的 弱化版本，并没有彻底搞定 109 年前的那个原始的猜想。

我们先来看看这个猜想是一个什么问题。这个猜想(Toeplitz square peg problem)是猜测任意连续的简单闭曲线上存着四个点构成为一个正方形。

Square Peg Problem

Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明的结果是： 对于任意光滑的 Jordan 曲线和长方形 R, 可以找到曲线上的四个点使得构成的长方形相似于 R.

换言之，Andrew Lobb 和 Joshua Greene 证明了 对于光滑的 Jordan 曲线上存着四个点构成为一个正方形，并且不仅仅如此，他们对于光滑的 Jordan 曲线得到的结果比猜想还要好很多。

于是 ，我们可以说，109 年前的猜想还没有完全解决，依旧还是未决难题。看来必须得有全新的想法才可能突破。

关于这个猜想，数学家已经做出了很多努力。数学家们方法尝试了许多，Tao(陶哲轩)用积分的方法，而 Lobb和Greene 的 6 页的文章是（代数）拓扑风格，是建立在前人做出的贡献，尤其是 Shevchishin 的一个定理

the Klein bottle does not admit a smooth Lagrangian embedding in \(\Bbb C^2\).

之上，以辛几何为方法，取得了进展。

Andrew Lobb 和 Joshua Greene

Andrew Lobb，本科就读于牛津大学，在哈佛大学攻读博士学位，目前在杜伦大学担任助理教授，同时亦是日本冲绳科技大学的 Excellence Chair。

Joshua Greene，先后分别在芝加哥大学和普林斯顿大学攻读硕士、博士学位，现在是波士顿学院教授。

 

Manjul Bhargava, the BSD conjecture and Fields medal

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Jul 242014
 

Conjecture

There exist elliptic curve groups \(E(\Bbb Q)\) of arbitrarily large rank.

用 \(r\) 表示 \(\Bbb Q\) 上的椭圆曲线 \(E\) 的秩—the rank of the Mordell–Weil group \(E(\Bbb Q)\).

一个悬而未决的著名难题是: \(r\) 是否可以任意大?

Martin-McMillen 2000 年有一个 \(r\geq24\) 的例子:

\begin{equation*}\begin{split}y^2+xy+y&=x^3-120039822036992245303534619191166796374x\\&+ 504224992484910670010801799168082726759443756222911415116\end{split}\end{equation*}

Hasse-Weil \(L\)-function \(L(s, E)\) 在 \(s=1\) 处的零点的阶数 \(r_a\) 称为 \(E\) 的 analytic rank(解析秩).

Manjul Bhargava, Christopher Skinner, Wei Zhang(张伟) 7 月 7 日在 arXiv 上传的论文 “A majority of elliptic curves over \(Q\) satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture“, 宣布了取得的进展:

  1. \(\Bbb Q\) 上的椭圆曲线, when ordered by height(同构类以高排序), 至少有 \(66.48\%\) 满足 BSD conjecture;
  2. \(\Bbb Q\) 上的椭圆曲线, when ordered by height, 至少有 \(66.48\%\) 有有限 Tate–Shafarevich group;
  3. \(\Bbb Q\) 上的椭圆曲线, when ordered by height, 至少有 \(16.50\%\) 满足 \(r=r_a=0\), 至少有 \(20.68\%\) 满足 \(r=r_a=1\).

谁将在 8 月 13 日的 ICM 2014 开幕式上获得 Fields medal？坊间向来不缺传闻. 数论大牛 Manjul Bhargava 无疑是最耀眼的明星.

Chuanming Zong and Sphere Packings

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May 242014
 

前些日子, 传出新闻, 北大数院的宗传明在堆球问题取得进展, 论文 On the translative packing densities of tetrahedra and cuboctahedra  发表在 Advances in Mathematics, Volume 260, 1 August 2014, Pages 130–190. 该文的主要结果是证明了

\[\delta^t(C)\leqslant\frac{90\sqrt{10}}{95\sqrt{10}-4}\quad\text{and}\quad\delta^t(T)\leqslant\frac{36\sqrt{10}}{95\sqrt{10}-4}\]

于是

\[0.9183673\dotsm\leqslant\delta^t(C)\leqslant0.9601527\dotsm\]

和

\[0.3673459\dotsm\leqslant\delta^t(T)\leqslant0.3840610\dotsm.\]

宗教授研究堆球已经很多年. 已经退休的项武义也在开普勒猜想(Kepler Conjecture)花了很多心思, 一度宣称解决了这个古老的著名问题, 不过还没有得到广泛承认.

宗教授除了喜爱堆球, 也研究数论. 他长期在北大给本科生讲初等数论和抽象代数, 也喜爱在课堂吹嘘自己的经历. 他不怎么收研究生, 当然也不是完全不带.

对这位宗传明教授的为人, 这里不做评价. 他在 Springer 出版的收录入 Universitext 系列的两本书是:

  1. Sphere Packing, Springer-Verlag, New York, 1999;
  2. Strange Phenomena in Convex and Discrete Geometry, Springer-Verlag, New York, 1996.

他还在剑桥大学出版社(Cambridge University Press) 有一本 “Cube-A Window to Convex and Discrete Geometry”(Cambridge Tracts in Mathematics 168), 2006.

仅仅两个月之前, 高等教育出版社出版一本他 78 页的小册子”堆球的故事”, 是为数学文化小丛书的第 24 册. 这书的内容, 如书名揭示的, 仅仅是一些与堆球有关的故事的集合, 没有任何的深入探讨. 我猜测, 此书是主编李大潜向宗教授约稿的结果.

2009 年初, 科学出版社推出他的”离散几何欣赏”, 是姜伯驹主编的科普丛书”七彩数学”中的一本. 这个的厚度是前一本的两倍, 175 页, 有一些细节的证明.

此外, 宗传明教授也是畅销书 “Proofs from The Book”的中文版”数学天书中的证明”的译者之一.

中文书介绍装球问题的还有单墫的”十个有趣的数学问题”. 这书的第八个, 第九个问题与装球有关.

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Muhtarbay Otelbaev has published a full proof of the Clay Navier-Stokes Millennium Problem

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Jan 272014
 

Eminent Kazakh mathematician Mukhtarbay Otelbaev, Prof. Dr. has published a full proof of the Clay Navier-Stokes Millennium Problem  in “Mathematical Journal” (2013, v.13 , № 4 (50))

The area of Muhtarbay Otelbaev’s scientific interests included spectral theory of operators, theory of operators’ contraction and expansion, investment theory of functional spaces, approximation theory, computational mathematics, inverse problems.

Mukhtarbay Otelbaev 已经发表超过 \(200\) 篇论文, 指导了超过 \(70\) 个博士.

[Update, Feb 7, 2014: Terence Tao 已经向 J. Amer. Math. Soc. 投了一篇论文 “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation”. 同时, 他也把文章传到了 arXiv: Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation. 参看他 4 日的博客.]

 Posted by at 11:42 am

Harald Helfgott has proved Goldbach’s weak conjecture

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May 262013
 

Busy day in analytic number theory

On May 13, 2013, Harald Andres Helfgott  uploaded to the arXiv his paper “Major arcs for Goldbach’s theorem” claimed that he has proved the ternary Goldbach conjecture, or odd Goldbach conjecture, asserts that every odd integer  \(n>5\) is the sum of three primes.

这论文仅仅证明了每个 \(>10^{30}\) 的奇数可以表示为三个质数之和. 至于 \(<10^{30}\) 的奇数, 已经通过计算机进行验证. 计算机实际上, 已经计算过, 对于 \(<8.875\cdot10^{30}\) 的奇数, Goldbach’s conjecture 都是对的. 这样, 奇数 Goldbach’s conjecture 彻底终结.

这文章采用是基于圆法 (Hardy–Littlewood circle method), 大筛法(the large sieve) and exponential sums 的一种途径.

Goldbach’s conjecture 已经有 \(271\) 年的历史了.

Yitang Zhang has proved a weak version of the twin prime conjecture

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May 142013
 

On 14 May 2013, Mathematician Yitang Zhang claimed that he has proved there are infinitely many prime gaps shorter than 70 million, which was a weak version of the twin prime conjecture.

数学界对张的证明, 表示乐观, 应该没有错误.

[Update, May 21, 2013: 张的论文, 全文 \(56\) 页已经可以在 Annals of Mathematics 的网站看到: Bounded gaps between primes(subscription required). 这文章的主要结果是证明了

\[\varliminf_{n\rightarrow\infty}(p_{n+1}-p_n)\lt7\times10^7,\]

这里 \(p_n\) 表示第 \(n\) 个质数.]

综合起来, 这故事有几个看点:

1. 成就太过突出
孪生质数猜想是数论中最古老的难题, 一直没有啥进展.

2. 用经典方法逆袭, 用弹弓打死了狗熊.
无数数学家企图使用弹弓打狗熊, 从没成功. 都已经放弃希望了, 突然有人宣布搞定. 不是崭新的思路, 这是很多数学家引以为憾的地方, 因此引来无数的酸葡萄, 大家都希望使用核武器来进攻, 甚至发明更猛的新式武器.

3.张益唐一直坎坷, 一举成名天下知.
很精彩的励志故事. 很可能将来的数论教科书在讲述他惊世骇俗的定理时, 也会用他送外卖糊口来思考数学的情事来鼓励后进.

石破天惊

4 月 17 日, 数学界最富盛名的数学杂志 Annals of Mathematics 的收件箱出现一篇论文. 这论文居然宣称在一个最古老的数学难题孪生质数猜想上取得重大突破. 专家们对作者张益唐感到陌生. 最要命的是, 张其实只是一所普通大学的讲师, 已经 50 好几.

著名数学杂志经常收到一些出自无名作者的号称解决了大问题的论文, 但这篇署名张益唐的数论论文不同. 这是一部严肃的作品: 论述清澈, 完全使用这学科当前的术语进行表述. 于是, 编辑们决定尽快审稿.

过了三个星期, 是的, 仅仅三周, 张就收到了对论文的评价: 一流!

一个没啥名气的研究人员取得重大进展的新闻, 迅速在数学界传开. 丘成桐邀请张益唐去 Harvard 做一个报告. 报告会于 5 月 13 日进行. 坐在教室的观众有 50 人, 没人之前听说过张的大名, 包括丘.(其实, 在1980年代, 张还在求学的时候, 与丘是打过交道的.) 于是,  张益唐的工作的一些细节为外界所知晓: 张没有使用崭新的办法, 而是通过改进已有的途径. 最顶尖的数论专家已经尝试过这种途径, 但张益唐在别人失败的地方取得了成功.

张益唐的定理令人惊讶, 是一个巨大的突破.

筛法

张益唐的成果可以追溯到八年前的一篇数论专家引用称为GPY的论文-以其三位作者 Goldston, János Pintz, Cem Yıldırım 的名字命名. 该论文已经非常非常接近, 但很遗憾的没能证明存在无限多对质数, 其差有限.  具体说来, GPY发展了一种称为筛法的方法. 研究人员把这种筛法与一个函数结合起来. 这个函数的效能是基于一个衡量质数多快才能呈现某种规律的称为 level of distribution 参数.  level of distribution 至少是\(\frac12\), 这就是得到 GPY 的结果的那个值. GPY的筛法要想得出存在无限多对质数, 其间隙有限, 必须提升 level of distribution, 使其 \(>\frac12\), 哪怕只比 \(\frac12\) 大那么一点点也足够了.

1980 年代后期, IAS 的 Fields Medal 得主 Enrico Bombieri, Toronto大学的 John Friedlander, 和 Rutgers大学的 Henryk Iwaniec 设法修改level of distribution 的定义, 使得这个修订后的参数达到 \(\frac47\). GPY 的文章在 2005年出笼以后, 研究人员一窝蜂想把这个修改后的 level of distribution 与 GPY的筛法组合起来, 但没有什么成效.

张益唐的工作

与此同时, 张益唐独自游走在 GPY 与质数的有界间隙之间, 想要完成 GPY 未尽的事业.

张读过 GPY 这论文. 论文里有一句话是如此振奋人心. 这句话指出, 质数间隙有界已经近在咫尺! 经过三年孤独的奋斗, 张没有任何进展.

想进行一点休息, 张益唐去年夏天访问了一个在 Colorado 的朋友. 就在这期间,  7 月 3 日,  在离开朋友家去一个音乐会之前, 在后院休息的半小时里, 张益唐突然想出了答案. 张的想法, 不是直接使用Selberg 的筛法, 而是做一些修正: 不是使用所有的数来过滤, 只考虑那些没有大的质数因子的数.

Goldston认为, 张的筛法, 没有那么强大, 效果也差一点, 但在 GPY 会有一点奇效. 这样一来, 张把 level of distribution 提高到了 \(\frac12+\frac1{584}\), 这足以使用 Bombieri, Friedlander, 和 Iwaniec 的方法. “新筛法得出了张的惊天动地的结果, 但不太可能证明孪生质数猜想. 即便假定 level of distribution 最好的结果成立, 从 GPY 的方法只能得出有无穷多对质数, 其差不超过 \(16\).” Goldston 说.

张也使用了 Enrico Bombieri, John Friedlander, 和 Henryk Iwaniec 所发展的技巧, 比如有限域上的特征和, 自守形式的理论, 然后独创性的把所有东西结合在一起.  他也优雅的借用其他领域的工具, 比如间接用到有限域上代数簇的 Riemann hypothesis.

张益唐花费了几个月才完成所有的细节. 最后的论文表述清晰. 这是解析数论的巅峰之作.

[Update, June 8, 2013: 去年7月3日, 张益唐前往在科罗拉多州立大学音乐系任教的好友, 音乐指挥家齐雅格家中作客. 当时他与齐雅格正准备离家去看排练, 临走前20分钟, 张益唐想到齐家院子后看不请自来的梅花鹿, 顺便抽根烟.

Yitang Zhang

Yitang Zhang

齐雅格回忆, 张益唐破解孪生素数的关键就是在那20分钟里,”有如神明启示一般地”想出来. 他那次到他家作客, 纯粹为了放松, “身上没带一本书,没有任何资料,也不上电脑.这似乎是个奇迹”.

张益唐则表示, 这是长期研究的积累, 一旦有机遇, 就成功地突破难题, 找到別人没有想到的特別突破口, “这也是运气”.[9]  ]

张益唐其人

张益唐, 北大 78 级, 本科学习的是计算数学. 1982年毕业之后, 拜潘承彪教授为师继续在北大学习三年, 获得硕士学位. 然后, 他赴美,  到 Purdue University攻读博士学位, 导师是莫宗坚教授. 莫宗坚的大名很多人应该是知道的, 这要归功于他的两本”代数学”.

学术界也讲究”血统”! 张益唐可算得上是华罗庚的”徒孙”. 张的硕士导师潘承彪尽管不是华罗庚正式的学生, 但显然受到华巨大的影响. 潘承彪曾追随闵嗣鹤教授学习广义解析函数, 但他的数论知识应该主要来自他的哥哥潘承洞. 潘承洞是闵嗣鹤的研究生, 但也被认为是华罗庚的学生, 尤其在对Goldbach猜想的研究上. 更不待言闵嗣鹤教授本人也被华深深影响. [1]

张益唐的博士题目是 Jacobian conjecture. 其实这 Jacobian conjecture 现在仍在考验人类的智慧. 张在博士毕业之前, 认为自己解决了 Jacobian conjecture. 但是, 他的证明使用的其导师莫宗坚的一个引理后来被发现是错的, 于是张几年的心血付之东流. 张益唐这博士论文没发表, 而且和导师莫宗坚的关系不好, 于是博士毕业即为失业, 连博士后都没找到.[2]

接下来的事情, 很多新闻都有报道: 张一边做零工糊口, 一边思考数学! 最后, 在他的两个师弟, 北大80级的同学唐朴祁, 尤其是葛力明的帮助下, 在一个偏僻的地方, University of New Hampshire, 找到一个讲师职位. 这样张益唐才算有了稳定的工作, 能在更好的条件下思考质数分布的规律.

张益唐在大学教书, 一周上课六个小时, 空余时间不少. 虽然学校並不重视研究, 但自己始终没有放弃思考和钻研自己热爱的数学数论问题. 在这三, 四年的过程中, 遇到许多令人沮丧的挫折.

张益唐不重视金钱和名利, 几乎任何时间都在思考数学, 甚至休息的时候. 这也部分回答了为什么他能成功. 用他自己的话来说,”The idea is based on an accumulation of my thinking for several years,I had tried various methods. To answer why others could not get it and I could, I may say that I had been working harder and never gave up.” [10]

闲暇之际, 张喜爱阅读莎士比亚(Shakespeare), 哈姆雷特, 罗密欧与朱丽叶(Hamlet and Romeo and Juliet) 是他的最爱.[8]

张益唐的学生对他评价很好, 字写的很漂亮.

他太太在 California 工作, 两人没有孩子.[5]

References

  1. 季理真, 素数不再孤单: 孪生素数和一个执着的数学家张益唐, May 20, 2013.
  2. 汤涛, 张益唐和北大数学 78 级, May 19, 2013.
  3. Erica Klarreich, Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap, simons foundation, May 19, 2013.
  4. Kenneth Chang, Solving a Riddle of Primes, The New Yorks Times, May 20, 2013.
  5. Carolyn Y. Johnson, Globe Staff, Obscure University of New Hampshire math professor takes major step toward elusive proof, May 23,2013.
  6. Dan Goldston, Zhang’s Theorem on Bounded Gaps Between Primes.
  7. Henryk  Iwaniec, a email to Shing-Tung Yau: Subject: Re: Yitang zhang, May 24,2013.
  8. Liam O’brien, That figures: Professor who had to work at Subway dazzles world of maths after solving centuries-old prime number riddle, May 21, 2013
  9. 唐嘉丽, 张益唐破解千古数学难题, June 6, 2013.
  10. Paul Feely, UNH professor solves ancient mathematics riddle, June 2, 2013.
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