May 062025
Functional Analysis Notes (2011) Andrew Pinchuck 的107页讲义，条理非常清晰，泛函分析基础的所有主要结论都包括进来了。
作者把 PDF 从主页移除了；如果要纸质版，可以留言
学习泛函分析的教科书很多，这个讲义只有概念和定理，例题也很稀缺，但结论都应当记住。
限于篇幅，泛函分析很多的课题都没有深入
如果想短时间了解泛函分析，可以拿这个讲义来学习。学习本讲义大抵只要数学分析、基本的高等代数、点集拓扑为先修。
这里要指出的是这个讲义的几个错误或疏忽，并作一些补充：
- 定理5.5.2的（b），证明的第一部分，两个拓扑实际是同一个时，要指出X 是有限维，这个证明肯定是通不过的，但是中间那一部分论证还是有用的。要完成证明，还要加补充不少。
- 定理5.2.1的证明的最后，\(||f || =1\) 的论证，要做一些修正。思路没问题，要订正的是细节。
- 定理5.5.4 的证明，要对本讲义的 Hahn-Banach 定理做很多深入探究才行。
- 定理5.5.5 的(b)和(c): (b)的证明用到了 Proposition 4.2.4，然而Proposition 4.2.4只处理了X 是有限维，无限维要做一些说明。(无限维空间X 的dual space 的维数的细致结果并不容易得到)；至于(c)，讲义实际没有给证明。 (c)的证明，用接下来的定理 5.5.6 可以；然而，在一种特殊情形可以有另外的办法，即当 X 是 Banach 空间，先用定理5.5.7，然后利用定理5.5.10，最后是定理5.3.2.
- 定理5.5.7的证明没有问题，但是这个证明远远不是看起来那么简单：在拓扑空间中证明某个子集为闭，采用了 net (序列的推广）的新事物，然则这个概念，例如，参考 Munkres 187 页。
- 定理 5.5.10 的证明也用到了 net.
- 定理 5.5.8 的证明，typos 至少有四处。不是直接利用 Hahn-Banach Theorem, 而是定理5.2.1