Dec 162013
 

若正项级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) 收敛, 证明: 级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\) 也收敛.

这是[1]下册 16 页例题 13.2.6. 这书很赞的, 非常给力!

我们先来简单的复述下这书给出的证明的要点:

说穿了, 这个证明的目的, 就是建立

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\leqslant4\sum_{n=1}^\infty a_n.\end{equation}

为此, 我们可以认为正数数列 \(\{a_n\}\) 单调递减. 这是因为 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\), 因之可把数列 \(\{a_n\}\) 按照从大到小重排. 此时 \(\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}\) 不能增加, 进而 \((1)\) 左边的 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}}\) 不会减少.

其次, 注意到下面这个简单的事实

\[\sum_{k=1}^{2n}\frac1{a_k}\gt \sum_{k=1}^{2n-1}\frac1{a_k}\geqslant\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1{a_k}\geqslant\frac n{a_n}\]

可导出

\[\frac{2n-1}{\sum\limits_{k=1}^{2n-1} \frac1{a_k}}+\frac{2n}{\sum\limits_{k=1}^{2n} \frac1{a_k}}\leqslant\frac{2n-1}{\frac n{a_n}}+\frac{2n}{\frac n{a_n}}\lt4a_n,\]

于是, \((1)\) 也就是顺理成章的事情了.

有趣的事情, 总是发生在下回分解: [1] 给出了这个证明, 接下来的一个注释引出了我们的故事. 这个注是这样的:

我们不知道不等式 \((1)\) 右边的系数 \(4\) 是否可以减少, 若可以的话, 其最优值又是多少(参见下一个例题).

这是这套书上下两册最没有经过大脑的一段话, 显然没有经过思考: 下一个例题是 Carleman’s inequality. 这著名的不等式很清楚的表明: 把不等式 \((1)\) 右边的系数 \(4\) 改为 \(\mathrm e\) 也是可以的. 问题是, 使得

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\leqslant k\sum_{n=1}^\infty a_n\end{equation}

成立的最小的实数 \(k\) 应该是 \(\mathrm e\) 吗?

Hardy’s inequality 在 \(p\leqslant1\) 时, 一般是不成立的. 但是, 若 \(p=-1\), 则

\[\left(\frac p{p-1}\right)^p=2.\]

这使得我们可以猜测: 使得 \((2)\) 成立的最小的实数 \(k\) 可能是 \(2\). 此外, 对于正可测函数 \(f(x)\), 有

\begin{equation}\int_0^\infty \frac x{\int_0^x\frac1{f(t)}\,dt}\,dx\leqslant 2\int_0^\infty f(x)\,dx.\end{equation}

因之可以确信: 我们寻找的最小实数就是 \(2\)! 换句话说, 成立

\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac n{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\dotsb+\frac1{a_n}}\leqslant2\sum_{n=1}^\infty a_n,\end{equation}

并且右边的系数 \(2\) 不可改进.

References

  1. 谢惠民, 恽自求, 易法槐, 钱定边, 数学分析习题课讲义, 高等教育出版社, 2004
  2. 匡继昌, 常用不等式(第四版), 山东科学技术出版社, 2010
 Posted by at 7:56 am
Oct 042013
 

Cantor-Bernstein theorem(CBT) 是集合论的一个定理. 但多数人第一次接触它, 很可能不是在学习集合论的时候, 而是在初次接触实变函数.

可以肯定的是, 很多实变函数教材的开篇, 会专门的列出这个定理, 并且写出证明. 当然, 也不是每一本关于测度论和 Lebesgue 积分的书都会花笔墨来这样做, 例如, 备受好评的 Stein 的[2], Folland 的[3], 都没有提到这个定理. 这是一个有趣的问题, 以后再来讨论.

没有多少书, 会使用诸如 “…定理的证明” 这样的名称; 也没有多少定理, 会专门用一本书来收集其证明. [1]–讨论素数定理的某一类证明–和 [6]–写出了代数基本定理的几个证明–是两个例子. 很荣幸, 几个月前出版的[4], 有 429 页, 就是这样一本书. 如此, 该书的主角–Cantor-Bernstein theorem–很荣耀的加入了这样的定理的行列.

[4] 收集了如此多大人物给出的 CBT 的精彩证明, 但这本书显然不好读.

CBT 最简单的证明, 大概是使用图论的手段. 使用一点匹配理论, 可以很简单的说明 CBT 的正确. 有兴趣的读者, 可以翻阅图论经典[5], 命题 8.4.6.

There is no constructive proof of CBT

CBT 的众多证明, 没有一个是构造性的! 实际上, 不存在 CBT 的构造性的证明.

References

  1. 潘承洞, 潘承彪, 素数定理的初等证明, 上海科学技术出版社
  2. Elias M. Stein&Rami Shakarchi, Real analysis
  3. Gerald B. Folland, Real analysis, second Edition
  4. Arie Hinkis, Proofs of the Cantor-Bernstein theorem–A Mathematical Excursion, 2013
  5. Reinhard Diestel,Graph Theory(GTM 173), 4th ed
  6. Benjamin Fine&Gerhard Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra
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Oct 032013
 

实变函数是必修的基础课, 重要性不言而喻. 搞概率的老师考学生, 最想出的问题应该是实变.

Thomas Hawkins 有一本 “Lebesgue’s Theory of Integration: Its Origins and Development“, 很值得一看.

可以推荐的书籍, 中文的, 下面六本可为代表:

1. 陈建功, 实函数论, 科学出版社

2. 周民强, 实变函数论, 北大出版社

这是北大使用的教材. 最新的版本是 2008 年的, 肯定不是第二版, 可以找到的不同版本就有至少三种. 周民强的书, 有一些共同的特点: 无伤大雅的小错误不少, 习题很多很难.

3. 徐森林, 薛春华, 实变函数论, 清华大学出版社

4. 周性伟, 实变函数, 科学出版社, 第二版

5. 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌, 实变函数论与泛函分析:上册•第二版修订本, 高等教育出版社

6. 程民德, 邓东皋, 龙瑞麟, 实分析, 高等教育出版社

下面是英文的推荐读物:

7. Elias M. Stein&Rami Shakarchi, Real analysis

8. Gerald B. Folland, Real analysis, second Edition

 Posted by at 7:36 am