Oct 042013
 

Cantor-Bernstein theorem(CBT) 是集合论的一个定理. 但多数人第一次接触它, 很可能不是在学习集合论的时候, 而是在初次接触实变函数.

可以肯定的是, 很多实变函数教材的开篇, 会专门的列出这个定理, 并且写出证明. 当然, 也不是每一本关于测度论和 Lebesgue 积分的书都会花笔墨来这样做, 例如, 备受好评的 Stein 的[2], Folland 的[3], 都没有提到这个定理. 这是一个有趣的问题, 以后再来讨论.

没有多少书, 会使用诸如 “…定理的证明” 这样的名称; 也没有多少定理, 会专门用一本书来收集其证明. [1]–讨论素数定理的某一类证明–和 [6]–写出了代数基本定理的几个证明–是两个例子. 很荣幸, 几个月前出版的[4], 有 429 页, 就是这样一本书. 如此, 该书的主角–Cantor-Bernstein theorem–很荣耀的加入了这样的定理的行列.

[4] 收集了如此多大人物给出的 CBT 的精彩证明, 但这本书显然不好读.

CBT 最简单的证明, 大概是使用图论的手段. 使用一点匹配理论, 可以很简单的说明 CBT 的正确. 有兴趣的读者, 可以翻阅图论经典[5], 命题 8.4.6.

There is no constructive proof of CBT

CBT 的众多证明, 没有一个是构造性的! 实际上, 不存在 CBT 的构造性的证明.

References

  1. 潘承洞, 潘承彪, 素数定理的初等证明, 上海科学技术出版社
  2. Elias M. Stein&Rami Shakarchi, Real analysis
  3. Gerald B. Folland, Real analysis, second Edition
  4. Arie Hinkis, Proofs of the Cantor-Bernstein theorem–A Mathematical Excursion, 2013
  5. Reinhard Diestel,Graph Theory(GTM 173), 4th ed
  6. Benjamin Fine&Gerhard Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra
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Oct 032013
 

实变函数是必修的基础课, 重要性不言而喻. 搞概率的老师考学生, 最想出的问题应该是实变.

Thomas Hawkins 有一本 “Lebesgue’s Theory of Integration: Its Origins and Development“, 很值得一看.

可以推荐的书籍, 中文的, 下面六本可为代表:

1. 陈建功, 实函数论, 科学出版社

2. 周民强, 实变函数论, 北大出版社

这是北大使用的教材. 最新的版本是 2008 年的, 肯定不是第二版, 可以找到的不同版本就有至少三种. 周民强的书, 有一些共同的特点: 无伤大雅的小错误不少, 习题很多很难.

3. 徐森林, 薛春华, 实变函数论, 清华大学出版社

4. 周性伟, 实变函数, 科学出版社, 第二版

5. 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌, 实变函数论与泛函分析:上册•第二版修订本, 高等教育出版社

6. 程民德, 邓东皋, 龙瑞麟, 实分析, 高等教育出版社

下面是英文的推荐读物:

7. Elias M. Stein&Rami Shakarchi, Real analysis

8. Gerald B. Folland, Real analysis, second Edition

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