Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

Manjul Bhargava, the BSD conjecture and Fields medal

July 24, 2014July 5, 2015 - by zyymat - Leave a Comment

Conjecture There exist elliptic curve groups \(E(\Bbb Q)\) of arbitrarily large rank. 用 \(r\) 表示 \(\Bbb Q\) 上的椭圆曲线 \(E\) 的秩—the rank of the Mordell–Weil group \(E(\Bbb Q)\). 一个悬而未决的著名难题是: \(r\) 是否可以任意大? Martin-McMillen 2000 …

expository / math.NT

Congruent number and the BSD conjecture

August 9, 2012July 24, 2014 - by zyymat - Leave a Comment

依赖相对迹公式方面的最新成果, 同余数(congruent number)最近有所进展. 其实, 我第一次从不定方程的书上了解到何为同余数的时候, 并不称为同余数, 而被冠名合同数. 同余数就是这样的 \(n\in\Bbb N^+\), 存在一个边长为有理数的直角三角形, 其面积为 \(n\). 边长为有理数的直角三角形被定义为有理三角形(有理三角形在不同的环境有不同的定义,比如有些作者不要求是直角三角形,也有人把直角三角形这个条件换成面积是有理数). 当有理三角形的边长都是整数的时候, 又称为勾股三角形. 哪些 \(n\) 是同余数? 有无简单的判定方法? 如果 \(n\) 是同余数, 请给出一个面积为 \(n\) 的有理三角形. 这些问题古老而困难, 目前仅有部分结果. 同余数和椭圆曲线, BSD猜想(Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)联系甚大. 第一个结果是 André Weil 的 Number Theory: …