Power, Simplicity and Beauty
number theory
Busy day in analytic number theory On May 13, 2013, Harald Andres Helfgott uploaded to the arXiv his paper “Major arcs for Goldbach’s theorem” claimed that he has proved the ternary Goldbach conjecture, …
Harald Helfgott has proved Goldbach’s weak conjecture Read MoreOn 14 May 2013, Mathematician Yitang Zhang claimed that he has proved there are infinitely many prime gaps shorter than 70 million, which was a weak version of the twin prime conjecture. …
Yitang Zhang has proved a weak version of the twin prime conjecture Read MoreA subset \(A\) of \(\Bbb N\) is called a Sidon set(or Sidon sequence) if the only solutions of the equation \(x+y=z+w\) with \(x,y,z,w\in A\) are the trivial ones with \(x=z, y=w\) or \(x=w, y=z\). 换句话说, \(A=\{a_0,a_1,a_2,\dotsc\}\) 是一个 Sidon …
Sidon set Read MoreShinichi Mochizuki has released his long-rumored proof of the abc conjecture, in a paper called Inter-universal Teichmuller theory IV: log-volume computations and set-theoretic foundations. If true, the proof would be …
Shinichi Mochizuki has released his proof of the abc conjecture Read MoreIf \(p,q\) are distinct odd primes, then \[\left( \frac pq\right) \left( \frac qp\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4},\] where \(\left( \frac{}{}\right)\) is the Legendre symbol. 这就是被 Gauss 称为”数论酵母” 的二次互反律. 自 Legendre 的那个没有完成的证明以来, 据 Reciprocity Laws: From …
The Quadratic Reciprocity Law Read More卢昌海谈 Riemann 猜想(Riemann hypothesis)的系列文章, 刚刚由清华大学出版社结集出版, 书名”黎曼猜想漫谈”. 从卢昌海动笔写第一篇谈Riemann 猜想的小文章, 到现在出版成书, 过去了八年仅仅差三个月. 在正式出版之前, 其内容已经在网络广为流传, 被很多人转载, 也被数学杂志连载刊登过, 影响巨大. 现在作为数学科普出版, 相信会促进科学的传播, 有助于大家了解这个数学中最重要的难题. 书名: 黎曼猜想漫谈 ISBN: 978-7-302-29324-8 出版社: 清华大学出版社 作者: 卢昌海 出版日期: 2012年08月 定价: 25 …
Changhai Lu’s book on the Riemann hypothesis has just been published Read More依赖相对迹公式方面的最新成果, 同余数(congruent number)最近有所进展. 其实, 我第一次从不定方程的书上了解到何为同余数的时候, 并不称为同余数, 而被冠名合同数. 同余数就是这样的 \(n\in\Bbb N^+\), 存在一个边长为有理数的直角三角形, 其面积为 \(n\). 边长为有理数的直角三角形被定义为有理三角形(有理三角形在不同的环境有不同的定义,比如有些作者不要求是直角三角形,也有人把直角三角形这个条件换成面积是有理数). 当有理三角形的边长都是整数的时候, 又称为勾股三角形. 哪些 \(n\) 是同余数? 有无简单的判定方法? 如果 \(n\) 是同余数, 请给出一个面积为 \(n\) 的有理三角形. 这些问题古老而困难, 目前仅有部分结果. 同余数和椭圆曲线, BSD猜想(Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)联系甚大. 第一个结果是 André Weil 的 Number Theory: …
Congruent number and the BSD conjecture Read More如果把能表示成两个整数平方和的正整数, 按从小到大排成一列: \begin{equation}a_0=0,a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=5,\dotsc.\end{equation} 那么这个数列, 不妨名为二平方和数列, 有什么性质? 先来考察二平方和之间的间隙, 也就是数列 \((1)\) 中, 相邻两项的差的问题. 这个差, 有界还是无界?事实上, 这个差可以任意的大, 即我们有下面的定理: 定理 \(1\) 记 \(d_n=a_{n+1}-a_n(n\geqslant1),\) 则 \begin{equation}\varlimsup_{n\rightarrow\infty}d_n= \infty.\end{equation} 换句话说, 我们可以找到任意多个连续的正整数, 它们都不在 \((1)\) 中. 证明 工具是中国剩余定理(Chinese remainder theorem). 取 …
The sequence of integer sums of two squares Read More