2018 China IMO team selection test
2018 年IMO 国家队队员李一笑——来自江苏天一中学——的大作 “2018 年国家集训队第一阶段选拔试题及解答”. 文档转载自数学新星网. 2018 China IMO team selection test part one 2018 年国家集训队第二阶段选拔试题来自贴吧
2018 China IMO team selection test Read MoreThere does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\)
Theorem. There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\). The relevant facts are that \(S_4\) is a complete group(no outer automorphisms, trivial center) which is …
There does not exist a group whose commutator subgroup is isomorphic to \(S_4\) Read MorePeking university 2018 mathematics postgraduate entrance examination–mathemematics Basic examination 1
北京时间 2017 年 12 月 24 日上午的数学分析 下面的试题, 除了第 3 与第 5 题与实际考卷稍有出入, 其余的题与考场上卷子的用词句子甚至排版都是完全一模一样的! 1. 证明如下极限: (1) \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(1+\int_0^1\dfrac{\sin^n x}{x^n}\;dx\Big)^n=+\infty\); (2) \(\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\int_0^1\dfrac{\sin x^n}{x^n}\;dx\Big)^n=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}e^{\frac{(-1)^k}{2k(2k+1)!}}\); (3) \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln\Big(1+\dfrac{k^2-k}{n^2}\Big)=\ln 2-2+\dfrac\pi2\). 2. \(f\in C(0,1)\), \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\alpha\lt\beta=\dfrac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}\), 这里 …
Peking university 2018 mathematics postgraduate entrance examination–mathemematics Basic examination 1 Read MoreSolutions to 2017 Chinese Mathematical Olympiad(CMO)
不是完整的试题解答, 仅仅在关隘的地点聊一聊. 付云皓的题 3 的解 记 \(a=[nq^{\frac13}]\), \(b=[nq^{\frac23}]\), \(c=nq\). 然后 \begin{equation}\Big(c-aq^{\frac23}\Big)^2+\Big(c-bq^{\frac13}\Big)^2+\Big(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2=\frac{2(a^3q^2+b^3q+c^3-3abcq)}{aq^{\frac23}+bq^{\frac13}+c}\geqslant\frac2{3c},\end{equation} 最后的不等式是因为 \(a^3q^2+b^3q+c^3\gt 3abcq\), 并且 \(c\geqslant aq^{\frac23}\), \(c\geqslant bq^{\frac13}\). 然后, 因为 \(c-aq^{\frac23}\geqslant0\), \(c- bq^{\frac13}\geqslant0\), 以及 \(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}=-\Big((c-aq^{\frac23})-(c-bq^{\frac13})\Big)\), 得到 \begin{equation}\Big(c-aq^{\frac23}\Big)^2+\Big(c-bq^{\frac13}\Big)^2\leqslant\Big(2c-aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2,\end{equation} 与 \begin{equation}\Big(aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2\leqslant\Big(2c-aq^{\frac23}-bq^{\frac13}\Big)^2.\end{equation} 现在, \((1)\) …
Solutions to 2017 Chinese Mathematical Olympiad(CMO) Read More2017 Chinese Mathematical Olympiad(CMO)
第 33 届中国数学奥林匹克 浙江 杭州 第一天 (2017 年 11 月 15 日 8:00–12:30) 1. 设 \(A_n\) 是满足以下条件的素数 \(p\) 的集合: \(\exists a\), \(b\in\Bbb N^+\), 使得 \(\dfrac{a+b}p\), \(\dfrac{a^2+b^2}{p^2}\) 都是正整数, 且 \[\Big(\frac{a+b}p, p\Big)=\Big(\frac{a^2+b^2}{p^2}, …
2017 Chinese Mathematical Olympiad(CMO) Read MoreHilbert’s 17th Problem 6: History
既然奇次多项式会变号, 那么设 \(d\) 次多项式 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 非负, 则 \(d\) 为偶数. 我们以后只要关注偶次多项式就行了.
Hilbert’s 17th Problem 6: History Read MoreHilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial
齐次多项式(Homogeneous polynomial)在数学中有其特殊的重要性. 在代数几何, Homogeneous polynomial 尤其受到偏爱. 实数域上的的 \(n\) 元多项式环, 以 \(\Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\) 表之. Hilbert 限制在齐次多项式. 定义 5.1 设 \(p\in \Bbb R[x_1, x_2,\dotsc, x_n]\), 其次数 \(\leqslant d\). 把 \(n+1\) 元 …
Hilbert’s 17th Problem 5: Homogeneous polynomial Read MoreDarboux’s theorem in real analysis
Darboux (14 August 1842-23 February 1917) 是法国数学家. Darboux’s theorem 是单变量微分学的一个简单的定理, 但大学一年级的分析的教科书上通常却没有这个结果. 这里指的是分析(analysis)中的 Darboux’s theorem, 而不是微分几何(Differential geometry)中关于微分形式(Differential form)的那个Darboux’s theorem. Darboux’s theorem 函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导, 则导数 \(f^\prime(x)\) 具有介值性质. Sam B. Nadler, …
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