这节的目的是 Cauchy–Riemann 方程. 注意, 我们是在不涉及导数, 解析函数的前提下做这件事.
大名鼎鼎的 Cauchy–Riemann equations:
\[\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.\end{cases}\]
这是一个偏微分方程组, 是复分析的核心.
Cauchy–Riemann equations 与 Maxwell’s equations 是有联系的.
On Mar 10, Ciprian Manolescu posted a preprint on ArXiv proving that the Triangulation Conjecture is false:
Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture
当然, Ciprian Manolescu 的论证还需要经过检验, 目前还不能肯定完全正确.
Ciprian Manolescu(born December 24, 1978) is currently a Professor of Mathematics at the University of California, Los Angeles. 他曾在 IMO 取得三个满分: 1995,1996,1997. 他的学士(2001) 和博士(2004)两个学位都在 Harvard 大学完成.
今年的 Abel Prize 授予 Pierre Deligne. Timothy Gowers, 1998 年的 Field Medal 得主, 写了一篇文章来介绍 Pierre Deligne 的工作. 这已经是 Timothy Gowers 连续第三次做这件事情了: 他 2012年介绍了 Endre Szemerédi 的工作, 2011年为 John Milnor 写了长文.
有一个数学家用 sowa 这个 ID 在 T. Gowers 的博客, 宣布今年的 Abel Prize 得主是 Pierre Deligne 的文章, 质疑 Abel Prize:
这个论战正在进行. 参与讨论的人包括 T. Gowers 和 Terry Tao.
这就是常说的大考了, 占所有考试一半的比重.
2013年3月24日上午 8:00-12:30
1. 给定整数 \(n\geqslant2\), 对任意互素的正整数 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\), 记 \(A=a_1+a_2+\dotsb+a_n\), 对 \(i=1,2,\dotsc,n\), 设 \(A\) 与 \(a_i\) 的最大公约数为 \(d_i\); \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\) 中删去 \(a_i\) 后余下的 \(n-1\) 个数的最大公约数为 \(D_i\). 求 \(\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{A-a_i}{d_iD_i}\) 的最小值.
2. 如图, \(\triangle ABC\) 内接于圆 \(O\), \(P\) 为 \(\widehat{BAC}\) 的中点, \(Q\) 为 \(P\) 的对径点, \(I\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心, \(PI\) 交边 \( BC\) 于点 \(D\), \(\triangle AID\) 的外接圆交 \(PA\) 延长线于点 \(F\), 点 \(E\) 在线段 \(PD\) 上, 满足 \(DE=DQ\). 记 \(\triangle ABC\) 的外接圆, 内切圆的半径分别为 \(R,r\).
证明: 若 \(\angle AEF=\angle APE\), 则 \(\sin^2\angle BAC=\dfrac{2r}R\).
China team for IMO 2013 selection test 3 problem 2
3. 有 \(101\) 个人, 分别持有 \(1,2,\dotsc,101\) 张卡片, 按任意顺序围坐在圆桌旁. 一次传递是指某人将自己手中的一张卡片传给与其相邻的两个人之一. 求最小的正整数 \(k\), 使得不论座次如何, 总能通过不超过 \(k\) 次传递, 使得每个人持有的卡片数相同.
2013年3月25日上午 8:00-12:30
4. 设 \(p\) 是一个素数, \(a,k\) 是正整数, 满足 \(p^a<k<2p^a\). 证明: 存在正整数 \(n\), 使得 \(n<p^{2a}\), 且 \(C_n^k\equiv n\equiv k\pmod {p^a}\).
5. 设整数 \(n\geqslant2\), \(a_1,a_2,\dotsc,a_n,b_1,b_2,\dotsc,b_n\) 是非负实数. 证明:
\[\left(\dfrac n{n-1}\right)^{n-1}\left(\dfrac 1n\sum_{i=1}^na_i^2\right)+\left(\dfrac 1n\sum_{i=1}^nb_i\right)^2\geqslant\prod_{i=1}^n\left(a_i^2+b_i^2\right)^\frac1n.\]
6. 在直角坐标平面上, 设点集 \(P,Q\) 是顶点均为整点的凸多边形区域(包括内部和边界), \(T=P\cap Q\). 证明: 若 \(T\) 非空且不含整点, 则点集 \(T\) 是非退化的凸四边形区域.
2013年3月18日上午 8:00-12:30
1. 对整数 \(k\geqslant2\), 设 \(T_k=\{(x,y)|x,y=0,1,\dotsc,k-1\}\) 为直角坐标平面内的 \(k^2\)个点组成的集合, 将 \(T_k\) 中的点对之间的所有不同距离从大到小记为
\[d_1(k)>d_2(k)>\dotsb.\]
令 \(S_i(k)\) 为 \(T_k\) 中距离等于 \(d_i(k)\) 的无序点对的个数.
证明: 若正整数 \(m>n>i\), 则 \(S_i(m)=S_i(n)\).
2. 证明: 存在正常数 \(K\) 及严格递增的无穷正整数数列 \(\{a_n\}\), 使得对任意正整数 \(n\), 均有 \(a_n<K\cdot (1.01)^n\), 且数列 \(\{a_n\}\) 中的任意有限多个不同项之和不是完全平方数.
3. 设 \(A\) 是平面内 \(6\) 个点组成的集合, 记 \( n(A)\) 为经过 \(A\) 中至少 \(3\) 个点的单位圆的个数. 求 \( n(A)\) 的最大可能值.
2013年3月19日上午 8:00-12:30
4. 设整数 \(N>1\) 的标准分解为 \(N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dotsm p_k^{\alpha_k}\), 记
\[\Omega(N)=\alpha_1+\alpha_2+\dotsb+\alpha_k.\]
设 \(a_1,a_2,\dotsc,a_n\) 为正整数, \(P(x)=(x+a_1)(x+a_2)\dotsm (x+a_n)\). 已知对任意正整数 \(k\), \(\Omega(P(k))\) 均为偶数. 证明: \(n\) 为偶数.
5. 求具有下述性质的最大正整数 \(m\): 对全体正整数的任意一个排列 \(a_1,a_2,a_3,\dotsc\), 总存在正整数 \(i_1<i_2<\dotsb<i_m\), 使得 \(a_{i_1},a_{i_2},\dotsc,a_{i_m}\) 构成公差为奇数的等差数列.
6. 设 \(a_0,a_1,\dotsc,a_n(n\geqslant1)\) 是非负实数, 记 \(S_k=\sum\limits_{i=0}^kC_k^ ia_i,k=0,1,\dotsc,n\), 其中约定 \(C_0^0=1\). 求证:
\[\dfrac1n\sum_{k=0}^{n-1}S_k^2-\dfrac1{n^2}\left(\sum_{k=0}^{n}S_k\right)^2\leqslant\dfrac4{45} \left(S_n-S_0\right)^2.\]
Fundamental theorem of algebra(FTA) Every polynomial of degree \(n\geqslant1\) with complex coeficients has a zero in \(\Bbb C\).
我们尝试使用 Cauchy 积分公式来证明代数基本定理. 其实有几个大同小异的证明, 基本的想法是一致的. 第一个证明属于 Anton R. Schep.
Proof. Let \(p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb+a_1z+a_0\) be a polynomial of degree \(n\geqslant1\) and assume that \(p(z)\ne0\) for all \(z\in\Bbb C\). Then the function defined by \(\frac1{p(z)}\) is entire. By Cauchy’s theorem,
\[\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}=\dfrac{2\,\mathrm\pi i}{p(0)}\ne 0.\]
Since
\[|p(z)| \geqslant |z|^n\left(1-\frac{|a_{n-1}|}{|z|}-\dotsb-\frac{|a_0|}{|z|^n}\right) > \frac12|z|^n\]
for \(z\) sufficiently large, so
\[\left|\int_{|z|=r}\dfrac{\mathrm dz}{zp(z)}\right| \leqslant 2\,\mathrm\pi r \cdot \max_{|z|=r}\dfrac1{|zp(z)|} = \dfrac{2\,\mathrm\pi }{\min\limits_{|z|=r}|p(z)|}\to0(r\to\infty),\]
which is a contradiction, and therefore \(p(z)\) has a zero. \(\Box\)
这个证明还可以另一种面目表现出来: 使用关于解析函数的 Mean-Value Property(MVP).
第二个证明 依旧是反证法. 我们可以假定 \(z\in\Bbb R\) 时, \(p(z)\) 是实数(否则, 考虑 \(p(z)\overline{p}(z)\), 这里 \(\overline{p}(z)=z^n+\overline{a_{n-1}}z^{n-1}+\dotsb+\overline{a_1}z+\overline{a_0}\)). 既然, \(\forall x\in\Bbb R, p(x)\ne0\), 于是可有
\[\int_0^{2\,\mathrm\pi}\dfrac{\mathrm d\theta}{p(2\cos \theta)}\ne 0.\]
但是, 这个积分显然等于
\[\frac1i\int_{|z|=1}\frac{\mathrm dz}{zp(z+\frac1z)}=\frac1i\int_{|z|=1}\frac{z^{n-1}\,\mathrm dz}{q(z)},\]
这里 \(q(z)=z^np(z+\frac1z)\) 是一个多项式. 显然 \(z\ne0\) 时, \(q(z)\ne 0\), 而且 \(q(0)=1\), 于是 \(\dfrac{z^{n-1}}{q(z)}\) 是整函数. 据 Cauchy 定理, 上面的积分是 \(0\). 矛盾！
The Norwegian Academy of Science and Letters has decided to award the Abel Prize for 2013 to Pierre Deligne , Institute for Advance Study, Princeton, New Jersey, USA.
“for seminal contributions to algebraic geometry and for their transformative impact on number theory, representation theory, and related fields”
2013 年3 月16 日 电子科技大学(成都)
1.(15分) 设 \(A\) 为正常数, 直线 \(L\) 与双曲线 \(x^2-y^2=2(x>0)\) 所围成的面积为 \(A\). 证明:
(i) 上述 \(L\) 被双曲线 \(x^2-y^2=2(x>0)\) 所截线段的中点的轨迹为双曲线;
(ii) \(L\) 总是 (i) 中轨迹曲线的切线.
2.(15分) 设函数 \(f(x)\) 满足条件:
(1) \(-\infty<a \leqslant f(x) \leqslant b <+\infty, a\leqslant x\leqslant b \);
(2) 对任意 \(x,y\in[a,b]\) 有 \(|f(x)-f(y)|<L|x-y|\),其中 \(L\) 是大于 \(0\) 小于 \(1\) 的常数.
设 \(x_1\in[a,b]\), 令 \(x_{n+1}=\frac12[x_n+f(x_n)],n=1,2,\dotsc\).
证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x\) 存在, 且 \(f(x)=x\).
3.(15分) 设实 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的每个元素的绝对值为 \(2\), 证明: 当 \(n\geqslant 3\) 时, \(|A|\leqslant\frac13\cdot2^{n+1}n!\).
4.(15分) 设函数 \(f(x)\) 为区间 \((a,b)\) 上的可导函数. 对 \(x_0\in (a,b)\), 若存在 \(x_0\) 的领域 \(U\) 使得任意的\(x\in U\backslash\{x_0\}\) 有 \(f(x)>f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)\), 则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的凹点. 类似地, 若存在\(x_0\) 的领域 \(U\) 使得任意的\(x\in U\backslash\{x_0\}\) 有 \(f(x)<f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)\), 则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的凸点.
求证: 若 \(f(x)\) 是区间 \((a,b)\) 上的可导函数且不是一次函数, 则 \(f(x)\) 一定存在凹点或凸点.
5.(20分) 设 \(A=\pmatrix{
a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr
a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr
a_{31}&a_{32}&a_{33}\cr
}\)为实对称矩阵, \(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵, 记 \(f(x_1,x_2,x_3,x_4)=
\left|\matrix{
x_1^2&x_2&x_3&x_4\cr
-x_2&a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr
-x_3&a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr
-x_4&a_{31}&a_{32}&a_{33}
}\right|\). 若 \(A\) 的行列式为 \(-12\), \(A\) 的所有特征值的和为 \(1\), 且 \((1,0,-2)^T\) 为 \((A^*-4I)X=0\) 的一个解. 试给出一正交变换 \(\left(\matrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4}\right)=Q\left(\matrix{y_1\cr y_2\cr y_3\cr y_4}\right)\) 使得 \(f(x_1,x_2,x_3,x_4)\) 化为标准型.
6.(20分) 令 \(\Bbb R\) 为实数集, \(n\) 为给定的正整数, \(A\) 表示所有 \(n\) 次首一实系数多项式组成的集合. 证明
\[\inf_{b\in\Bbb R, c>0, P(x)\in A}\dfrac{\int_b^{b+c}|P(x)|\,\rm dx}{c^{n+1}}>0.\]