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Congruent number and the BSD conjecture

August 9, 2012July 24, 2014 - by zyymat - Leave a Comment

依赖相对迹公式方面的最新成果, 同余数(congruent number)最近有所进展. 其实, 我第一次从不定方程的书上了解到何为同余数的时候, 并不称为同余数, 而被冠名合同数. 同余数就是这样的 \(n\in\Bbb N^+\), 存在一个边长为有理数的直角三角形, 其面积为 \(n\). 边长为有理数的直角三角形被定义为有理三角形(有理三角形在不同的环境有不同的定义,比如有些作者不要求是直角三角形,也有人把直角三角形这个条件换成面积是有理数). 当有理三角形的边长都是整数的时候, 又称为勾股三角形. 哪些 \(n\) 是同余数? 有无简单的判定方法? 如果 \(n\) 是同余数, 请给出一个面积为 \(n\) 的有理三角形. 这些问题古老而困难, 目前仅有部分结果. 同余数和椭圆曲线, BSD猜想(Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)联系甚大. 第一个结果是 André Weil 的 Number Theory: …

number theory

Wilson’s theorem

August 5, 2012August 13, 2012 - by zyymat - Leave a Comment

\(n\in\Bbb N^+\), then \begin{equation}\prod_{(i,n)=1}i\equiv\begin{cases}\,-1\pmod n,\quad n=2,4,p^\alpha,2p^\alpha\\\quad1\pmod n, \quad \text{otherwise}\end{cases}\end{equation} 这里 \(i\) 跑遍 \(n\) 的缩系. 这是 Gauss 在 DA.\(78\) 给出的 Wilson 定理(Wilson’s theorem) 的推广. \(2,4,p^\alpha,2p^\alpha\) 有原根, 此种情况下, 可以给出简单的证明. 至于完整的证明, 我还没有找出满意的办法, 下面是一种途径: 先指出如下引理: \(n\geqslant2, n=2^e …

math.NT

The sequence of integer sums of two squares

August 3, 2012August 16, 2012 - by zyymat - Leave a Comment

如果把能表示成两个整数平方和的正整数, 按从小到大排成一列: \begin{equation}a_0=0,a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=5,\dotsc.\end{equation} 那么这个数列, 不妨名为二平方和数列, 有什么性质? 先来考察二平方和之间的间隙, 也就是数列 \((1)\) 中, 相邻两项的差的问题. 这个差, 有界还是无界?事实上, 这个差可以任意的大, 即我们有下面的定理: 定理 \(1\) 记 \(d_n=a_{n+1}-a_n(n\geqslant1),\) 则 \begin{equation}\varlimsup_{n\rightarrow\infty}d_n= \infty.\end{equation} 换句话说, 我们可以找到任意多个连续的正整数, 它们都不在 \((1)\) 中. 证明工具是中国剩余定理(Chinese remainder theorem). 取 …

combinatorics

What day of the week is it?

July 31, 2012August 13, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

好多年前, 我看到过一个计算某年某月某日是星期几的公式, 一下子想不起来了, 只记得公式大概是什么结构, 有 “\(+\)”, 有 “\(-\)”, 等等. Google 了一下, 找出了这个公式, 现在写在这里, 做个档案. 公元 \(Y\) 年第 \(D\) 天是星期几, 即是 \[W=Y-1+\left[\frac{Y-1}4\right]-\left[\frac{Y-1}{100}\right]+\left[\frac{Y-1}{400}\right]+D\] 模 \(7\) 的余数. (这里 \(\left[x\right]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数) 比如, …

college mathematics competition

International Mathematics Competition for University Students(IMC) 2012

July 30, 2012October 6, 2014 - by zyymat - Leave a Comment

Day \(1\) July 28, 2012 Problem 1. For every positive integer \(n\), let \(p(n)\) denote the number of ways to express \(n\) as a sum of positive integers. For instance, …

book reviews / number theory

The Chinese edition of Gauss’s book “Disquisitiones Aritmeticae” has been published

July 30, 2012May 22, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

薪尽火传 “算术研究”中文版出版 Gauss 的经典传世名作, “算术研究(Disquisitiones Aritmeticae)”, 的中文版本, 已由哈尔滨工业大学出版社出版, 不过书的名字不是”算术研究”, 而是”算术探索”. Gauss 一生贡献众多, 以数论(Number Theory)中的这本”算术研究”, 以及微分几何(Differential Geometry)中的 Egregium theorem, 影响为最大. 这本书是 Gauss 于1801 年夏天出版, 全书用拉丁文(Latin)写成, 并且是最晚的使用学院拉丁文(scholarly Latin)写就的数学著作之一. 全书分为七个部分 \(335\) 篇, …

number theory

Congruence equation and transformations

July 29, 2012November 26, 2012 - by zyymat - Leave a Comment

\(m\in\Bbb N^+,a\in\Bbb Z,\) 并且 \(( a, m ) = 1\), 则一次同余方程 \[ax\equiv b\pmod m\] 有唯一解 \(\dfrac ba\). \(\dfrac ba\) 只是一个形式分数, 并不是我们需要的真正答数. 那么, 如何通过这个分数找出真正的解呢? 我没有看到什么书来系统论述这个问题. 单墫在他的大部头著作”数学竞赛研究教程”介绍中国剩余定理的时候, 在一个例题的解答里, 简略的提到了下面的变换 I 与 III. 人民教育出版社的新版普通高中课程标准实验教科书中, …

expository / geometry

Geometric construction with the compass alone

July 22, 2012May 22, 2013 - by zyymat - Leave a Comment

意大利几何学家 L. Mascherom 于 \(1797\) 年证明了, 凡是能用尺规作出的几何图形都可以仅仅使用圆规来完成. \(1833\) 年, Jakob Steiner 根据 Poncelet 的想法, 指出: 如果给定一个圆和它的中心, 那么, 能用尺规作出的几何图形都能单独用直尺来作出. 我一直很好奇, 这些结论究竟是如何证明的? Ross Honsberger 在他的书, “Ingenuity in Mathematics”, 的第 \(15\) 节提供了一个详尽的证明, 这一节的标题是: Mascheroni …