单墫的数论书 “趣味数论” 是一本不错的数论入门书. 这是我看过的第一本完全的数论书籍.
阅读本书不需要多少准备知识, 初中毕业生基本没有什么困难. 当然, 一个爱思考的大脑, 对数学的热爱, 一支铅笔一张纸肯定是不能缺少的!
对数学竞赛来说, 需要的数论知识点, 这书都有, 除了不是必须的二次剩余. 这书有不少堆垒数论的问题. 除此之外, 第七章是丢番图逼近的简单介绍, 第九章, 第十章可以看作解析数论, 代数数论的最简单入门. 这些数论分支, 继续深入, 都有很多好的文献.
单墫的的书, 有一些共同的特征: 问题多, 定理少! 这在本书也得到完整的体现.
本书最早由中国青年出版社出版, 是绿色封皮. 最新的第二版, 是华东师大出版社推出. 新版, 相较前版, 仅仅只有最后一节, 修订交待了 Wiles 证明了Fermat 大定理.
下面是对本书的一些补充材料:
1.21 唯一因式分解定理的证明
本书给出的是最流行的办法. Hardy 的名作 [2] 用最小数原理给出了另外一个证明.
2.5 五边形与五角数
一般, 第 \(k\) 个 \(m+2(m\geqslant1)\) 角数记为
\[p_m(k)=\dfrac{mk(k-1)}2+k.\]
2.8 一个不平凡的结论
这个结论是 Euler 的. 可在 [3] 的最后一章找到一个证明.
2.9 什么数恰好有 \(60\) 个因数?
最后给出的答案, 遗漏了一种情况: \(p^{59}\).
\(kn = x^2+y^2+1\)
\(n\) is a odd number, then there exists positive integer \(k\gt0\) such that \(kn = x^2+y^2+1\) for some integers \(x,y\).
with use of the Chinese remainder theorem we have to solve this problem only for power of primes:
suppose that \( n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dotsm p_k^{a_k}\), then we know that for each \(i\), there exist \( x_i, y_i\) such that \( p_i^{a_i}\) divides \( x_i^2+y_i^2+1\). Now consider these equations:
\[ X\equiv x_i\pmod {p_i^{a_i}}, i= 1,2,\dotsc,k.\]
these equations have solution because of Chinese remainder theorem.
similarly these equation have solution:
\[ Y\equiv y_i\pmod {p_i^{a_i}}, i= 1,2,\dotsc,k.\]
now \(n\) divides \( X^2+Y^2+1.\)
then we can apply hansel’s lemma. Actually we want to show that if for some \( \alpha \), there exist \(x,y\) such that \( p^\alpha\) divides \( x^2+y^2+1\), then for \( \alpha +1\) such \(x\) and \(y\) exist. For this because in case \( \alpha \), \( p\) cannot divide both \(x\) and \(y\), then we can use hansel for improve \( \alpha \) to \( \alpha+1.\)
References
- 华罗庚, 数论导引.
- Hardy, An introducton to the theory of numbers. 有中文本
- Tom M. Apostol, Introduction to analytic number therory. 有中文本
